Rekursiv formel för beräkning av pi

Kanske får det vara mitt amatörbidrag till matematiken. Troligare finns formeln redan, eller andra, smartare och elegantare varianter. Var så god och sök på webben 🙂

Formeln bygger på iakttagelsen att en regelbunden månghörning som är inskriven i en cirkel med radien 1, har en omkrets som närmar sig pi när antalet hörn blir större.

Idén är att börja med en kvadrat inskriven i cirkeln. Den har omkretsen $latex 2\sqrt{2}&s=1$ . Dubbla sedan antalet hörn till 8. Dess sida kan relativt enkelt beräknas med hjälp av kvadraten. Nästa steg är en 16-hörning, vars sida kan beräknas med åttahörningen. Etc.

Alltså:
Antag att vi har en cirkel med radie 1.
I cirkeln skriver vi in en regelbunden månghörning med $latex 2^{n}&s=1$ hörn, där $latex n>1&s=1$.
Antag vidare att vi känner till hur lång sidan är på denna månghörning.
Kan vi då beräkna sidan på månghörningen med $latex 2^{n+1}&s=1$ hörn?

Låt oss dela upp den första månghörningen (den med $latex 2^{n}&s=1$ hörn) i likbenta trianglar med toppen i cirkelns mitt. Varje triangel ser då ut något i stil med nedanstående figur. Dela även upp den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar:

Vi antar som sagt att för rektangeln med $latex 2^{n}&s=1$ hörn så har vi räknat ut sidan $latex C&s=1$. Omkretsen på denna månghörning kommer då att vara $latex {C_{n}}*2^{n}&s=1$ Omkretsen av cirkeln med radien 1 är enligt skolboken $latex 2 * \pi &s=1$. När antalet hörn ökar kommer alltså $latex {C_{n}}*2^{n – 1}&s=1$ att bli en bättre och bättre approximation av pi.

Låt nästa steg vara en månghörning med dubbelt så många hörn, $latex 2^{n+1}$. Dela även upp denna månghörning i likbenta trianglar med topp i cirkelns mitt, och dela upp den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar:

Observera nu att de blåmarkerade trianglarna är kongruenta. Med den iakttagelsen går det att hitta ett samband mellan $latex {C_{n}}&s=1$ och $latex {C_{n+1}}&s=1$. Med lite räknande får man sambandet:

$latex {C_{n+1}} = \sqrt{2 – \sqrt{4-C_{n}^2}}&s=1$

Enkelt uttryckt innebär det att vi har ett samband mellan sidan på en månghörning och sidan på en månghörning med dubbet så många hörn.

Givet att en regelbunden månghörning inskriven i en cirkel med radien 1 har sidan $latex {C_{n}}&s=1$, så vet vi nu att månghörningen med dubbelt så många hörn har omkretsen:

$latex 2^{{n}+1}{C_{n+1}} =2^{{n}+1}\sqrt{2 – \sqrt{4-C_{n}^2}}&s=1$

Efter lite mer räkningar kan vi nu ta fram en rekursiv formel för successiv beräkning av pi:

$latex \pi_{{n}+1}=2^{({n}+1)/2}\sqrt{2^{n}-\sqrt{4^{n}-\pi_{n}^2}}&s=1$

Startvärdet är en kvadrat inskriven i cirkeln, dvs $latex {n}=2&s=1$:

$latex \pi_{1}=2\sqrt{2}&s=1$

Utvecklingen går någorlunda snabbt. Approximation för pi blir:

4-hörning: $latex \pi\approx 2,8&s=1$
8-hörning: $latex \pi\approx 3,06&s=1$
16-hörning: $latex \pi\approx 3,12&s=1$
32-hörning: $latex \pi\approx 3,137&s=1$
64-hörning: $latex \pi\approx 3,140&s=1$
128-hörning: $latex \pi\approx 3,1413&s=1$
256-hörning: $latex \pi\approx 3,14151&s=1$
512-hörning: $latex \pi\approx 3,14157&s=1$
1024-hörning: $latex \pi\approx 3,141588&s=1$
2048-hörning: $latex \pi\approx 3,141591&s=1$
4096-hörning: $latex \pi\approx 3,1415923&s=1$
8192-hörning: $latex \pi\approx 3,1415925&s=1$

/David Armini