Artikel publicerad Fåglar på Västkusten.
Här går det att bli medlem och prenumerant på tidningen.
Månad: februari 2019
Är siffror 3, 6 och 9 kvar oftare i Sudoku?
Nej, med all sannolikhet inte.
Upprinnelsen är att undertecknad rätt ofta löser, eller försöker lösa, Sudoku. I ett svårare pussel hjälper det att skriva ut kvarvarande siffror. Och om det är tre siffror kvar, visst är det vanligare att de tre siffrorna är 3, 6 och 9, än exempelvis 1, 4 och 7 eller någon annan kombination?
Fenomenet är välbekant. Många upplever nog att de råkar titta på klockan vid ett visst klockslag och får för sig att det finns en magi som får en att se på klockan just 10:20, 10:10 eller 13:37.
I själva verket handlar det om positiv affirmation; Vi tenderar att minnas tillfällena som bekräftar reglerna vi skapat i huvudet i stil med och ignorerar resten. Förmodligen handlar det om ett mänskligt behov av att skapa ordning i en till synes kaotisk omvärld.
Betydligt otäckare än att vi kan uppleva detta med klockan, är förstås när samhället delas upp i läger: Ena sidan ser tecken överallt på att en mur mot Mexiko är enda räddningen. Andra sidan är övertygad om att en mur är onödig och tycker sig likaledes hitta bevis för detta i allt de iakttar.
Tyvärr tenderar starkare övertygelse om att ha rätt, att leda till större tendens att tolka fakta fel…
Tillbaka till Sudoku. Finns fog för att det är mer sannolikt att de tre sista siffrorna är just 3, 6 och 9? Följdfrågan blir förstås att räkna ut hur många kombinationer som är möjliga, eller vad sannolikheten är att det är just en viss sifferkombination vilket är ett överraskande svårt problem, även om vi antar att de olika kombinationerna är homogent fördelade.
Problemet kan formuleras på olika sätt:
- I en påse med nio bollar numrerade 1 till 9 – vad är sannolikheten att ta upp bollarna 3, 6 och 9?
- I en kvadrat med tre rutor numrerade 1 till 9, på hur många sätt går det att placera ut 3 stenar?
Det finns flera lösningar förstås, där en är följande:
Det är 9 siffror inblandade, 9 siffror kan sättas samman till ett 3-siffrigt tal på 9 x 9 x 9 = 729 olika vis. Det här tar emellertid med för många tal. Exempelvis ska vi inte ha med talen 111, 222, 333, vi ska alltså tar bort 9. Sedan ska vi ta bort de 72 tal som börjar med två likadana siffror, som 112, 113, 778. Även de 72 tal som har de två sista siffrorna och de 72 som har den första och sista siffran lika.
Kvar har vi nu 504 tal. Men det är fortfarande för många. Samtliga 504 av dessa tal har nu egenskapen att de består av tre olika siffror av 1 till 9. Emellertid har vi med permutationer: Talen 123, 132, 213, 231, 312 samt 321 finns alla med, men ska egentligen bara räknas en gång.
Resultatet är alltså 504 delat på 6, eller 84.
Så kan det inte hjälpas, men det är så tillfredsställande att räkna ut saker i Excel… Så här kan en lösning med hjälp av Excel se ut:
| 1:a | 2:a | 3:e fr.o.m. | 3:e t.o.m. | Antal |
| 1 | 2 | 3 | 9 | 7 |
| 1 | 3 | 4 | 9 | 6 |
| 1 | 4 | 5 | 9 | 5 |
| 1 | 5 | 6 | 9 | 4 |
| 1 | 6 | 7 | 9 | 3 |
| 1 | 7 | 8 | 9 | 2 |
| 1 | 8 | 9 | 9 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 9 | 6 |
| 2 | 4 | 5 | 9 | 5 |
| 2 | 5 | 6 | 9 | 4 |
| 2 | 6 | 7 | 9 | 3 |
| 2 | 7 | 8 | 9 | 2 |
| 2 | 8 | 9 | 9 | 1 |
| 3 | 4 | 5 | 9 | 5 |
| 3 | 5 | 6 | 9 | 4 |
| 3 | 6 | 7 | 9 | 3 |
| 3 | 7 | 8 | 9 | 2 |
| 3 | 8 | 9 | 9 | 1 |
| 4 | 5 | 6 | 9 | 4 |
| 4 | 6 | 7 | 9 | 3 |
| 4 | 7 | 8 | 9 | 2 |
| 4 | 8 | 9 | 9 | 1 |
| 5 | 6 | 7 | 9 | 3 |
| 5 | 7 | 8 | 9 | 2 |
| 5 | 8 | 9 | 9 | 1 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 2 |
| 6 | 8 | 9 | 9 | 1 |
| 7 | 8 | 9 | 9 | 1 |
| Summa | 84 |
Fler och betydligt elegantare lösningar finns förstås!
Slutsats? Om det är tre siffror kvar i en ruta så kan det vara en av 84 kombinationer. I en given sudoku är kan det handla om runt tjugo rutor som vid något tillfälle har tre siffror kvar. Det betyder att i snitt borde siffrorna 3, 6 och 9 vara kvar i en ruta i var fjärde sudoku och plötsligt känns det inte alls som att just denna sifferkombination dyker upp anmärkningsvärt ofta.
/David Armini
Cirklar vs trianglar och kvadrater, del 3
I en föregående text avfärdades cirklar och sfärer som kandidater till att vara de enklaste geometriska objekten i två respektive tre dimensioner. Samtidigt finns det något tillfredsställande enkelt med både cirkeln och sfären. Många tilltalas av det jämna och mjuka, särskilt jämfört med de vassa kanterna hos exempelvis trianglar eller rektanglar.
Ett argument mot sfärer och cirklar är vad som händer då de generaliseras. Givetvis finns ett stringent teoretiskt bygge kring dessa objekt. Sfären kallas då en 2-sfär, cirkeln kallas en 1-sfär. Generaliserat nedåt i dimensionerna så får vi en 0-sfär i en dimension och för att konstruktionen ska hållas samman blir 0-sfären något tråkigt en linje mellan två punkter.
Det knöliga här jämfört med både kvadrater och trianglar är att det är svårt att förstå hur de enklare objekten i lägre dimensioner kan användas för att bilda objekten i högre dimensioner; Med några en-dimensionella streck bildas en triangel i två dimensioner, och några tvådimensionella trianglar kan användas för att bygga en pyramid. Det går med hård ansträngning till och med att få en viss uppfattning om hur pyramider kan användas för att konstruera 4-simplex. Ungefär samma gäller för kvadrater och kuber.
Men hur konstruerar du en 1-sfär (en cirkel) med 0-sfärer (en linje)? Eller en 2-sfär (ett klot eller en sfär) med 1-sfärer. Det går. Absolut. Men det faller sig inte alls lika enkelt, åtminstone inte för undertecknad.
Om inte förr börjar något skava nu: ”åtminstone inte för undertecknad”. Vi är väl bekanta med att olika personer har olika fallenhet för olika sätt att tänka. Den ena sägs vara begåvad i musik, den andre att spela fotbollen och en tredje i matematik. Pröva därför följande tanke:
Under lång tid har personer med fallenhet för matematik på ett visst sätt fått definiera vad matematik är och hur undervisning i matematik ska bedrivas. Men tänk nu om detta stänger ute personer från matematiken? Tänk om det finns personer som, bara för att ta ett exempel, har lättare att se hur en 2-sfärer konstrueras med 1-sfärer, men som samtidigt har svårare att ta till sig hur en 3-simplex konstrueras med 2-simplex.
Undertecknads anekdotiska erfarenhet av detta är likartad: Vid undervisning på Chalmers och Göteborgs Universitet har jag träffat på flera personer som exempelvis föreföll ha lättare att ta till sig svårare begrepp än enkla. Samtidigt byggs matematisk undervisning enligt sten-på-sten-princip: Tycker du att liggande stolen är konstig så kommer du att aldrig att få resonera om topologier eller Manhattan-metriker. Bara för att nämna något.
Det som är potentiellt oroande och samtidigt spännande, är om det finns personer som döms ut, inte minst av sig själva, som matematiskt obegåvade, men som skulle kunna föra matematiken framåt.
/David Armini