Cirklar vs trianglar och kvadrater, del 3

I en föregående text avfärdades cirklar och sfärer som kandidater till att vara de enklaste geometriska objekten i två respektive tre dimensioner. Samtidigt finns det något tillfredsställande enkelt med både cirkeln och sfären. Många tilltalas av det jämna och mjuka, särskilt jämfört med de vassa kanterna hos exempelvis trianglar eller rektanglar.

Ett argument mot sfärer och cirklar är vad som händer då de generaliseras. Givetvis finns ett stringent teoretiskt bygge kring dessa objekt. Sfären kallas då en 2-sfär, cirkeln kallas en 1-sfär. Generaliserat nedåt i dimensionerna så får vi en 0-sfär i en dimension och för att konstruktionen ska hållas samman blir 0-sfären något tråkigt en linje mellan två punkter.

Det knöliga här jämfört med både kvadrater och trianglar är att det är svårt att förstå hur de enklare objekten i lägre dimensioner kan användas för att bilda objekten i högre dimensioner; Med några en-dimensionella streck bildas en triangel i två dimensioner, och några tvådimensionella trianglar kan användas för att bygga en pyramid. Det går med hård ansträngning till och med att få en viss uppfattning om hur pyramider kan användas för att konstruera 4-simplex. Ungefär samma gäller för kvadrater och kuber.

Men hur konstruerar du en 1-sfär (en cirkel) med 0-sfärer (en linje)? Eller en 2-sfär (ett klot eller en sfär) med 1-sfärer. Det går. Absolut. Men det faller sig inte alls lika enkelt, åtminstone inte för undertecknad.

Om inte förr börjar något skava nu: ”åtminstone inte för undertecknad”. Vi är väl bekanta med att olika personer har olika fallenhet för olika sätt att tänka. Den ena sägs vara begåvad i musik, den andre att spela fotbollen och en tredje i matematik. Pröva därför följande tanke:

Under lång tid har personer med fallenhet för matematik på ett visst sätt fått definiera vad matematik är och hur undervisning i matematik ska bedrivas. Men tänk nu om detta stänger ute personer från matematiken? Tänk om det finns personer som, bara för att ta ett exempel, har lättare att se hur en 2-sfärer konstrueras med 1-sfärer, men som samtidigt har svårare att ta till sig hur en 3-simplex konstrueras med 2-simplex.

Undertecknads anekdotiska erfarenhet av detta är likartad: Vid undervisning på Chalmers och Göteborgs Universitet har jag träffat på flera personer som exempelvis föreföll ha lättare att ta till sig svårare begrepp än enkla. Samtidigt byggs matematisk undervisning enligt sten-på-sten-princip: Tycker du att liggande stolen är konstig så kommer du att aldrig att få resonera om topologier eller Manhattan-metriker. Bara för att nämna något.

Det som är potentiellt oroande och samtidigt spännande, är om det finns personer som döms ut, inte minst av sig själva, som matematiskt obegåvade, men som skulle kunna föra matematiken framåt.

/David Armini

Trianglar vs kvadrater, del 2

Vilka är de enklaste geometriska objekten?

Det är lockande att säga cirkel och sfär i två respektive tre dimensioner och det går kanske att argumentera för dem. Men exempelvis finns inget endimensionellt som korresponderar någorlunda naturligt.

Ett förslag är i stället följande att utgå från en punkt. I geometriskt hänseende borde det vara enklast möjliga. (Vilket alltid kan ifrågasättas – vad är ”enkelt”, vad är ”geometriskt hänseende”, etc, etc, men släpp det än så länge.)

Gör sedan enligt följande:

  • Starten är noll dimensioner och en punkt.
  • Sedan lägger vi till en punkt i taget.
  • Samtidigt som vi lägger till en punkt ökar vi antalet dimensioner med ett steg.
  • Punkten vi lägger till ska ha samma avstånd till alla tidigare punkter. (Igen… vad är avstånd, etc, men om vi antar att det är väldefinierat, etc, etc.)

Vad händer då?
I en dimension så har vi förstås två punkter och en linje mellan dem.
I 2 dimensioner händer lite mer – följ ovanstående så blir det en liksidig triangel: Tre lika långa sidor mellan tre punkter. Och om man vill ett plan (ytan som omsluts av linjerna).
I 3 dimensioner så ska vi enligt ovan lägga till en punkt till och placera den på samma avstånd från de tre punkterna vi hade i två dimensioner. Vi får förstås en liksidig pyramid som består av fyra punkter, 6 lika långa linjer och 4 likadana, liksidiga trianglar.

Det blir ganska snajsigt:

Dimensioner0123
Punkter1234
Linjer136
Trianglar14

Efter lite grunnande går det att generalisera:

Dimensioner01234567
Punkter12345678
Linjer13610152128
Trianglar1410203556
Pyramider15153570
“4dkropp”162156
“5dkropp”1728
“6dkropp”18
“7dkropp”1

Den ”enklaste” kroppen i 4d begränsas alltså av 5 punkter, 10 linjer, 10 trianglar och 5 pyramider.

Det här är ju klurigt i sig att fundera på. Men det är ingeting vad som händer om man försöker ge sig på ett liknande resonemang med där 2d-objektet är en kvadrat och 3d-objektet en kub.

Det finns ingen tes eller slutsats i detta. Eller möjligen om det finns aspekter i matematik, matematikforskning och matematikundervisning som skulle bli enklare om vi utgick från trianglar istf kvadrater…?
Vi pratar bokstavligen om att tänka ”fyrkantigt”. Kanske skulle det finnas pedagogiska vinster med att släppa kvadraterna…?

….och så kan det läggas till att det här givetvis inte några som helst nyheter. Trianglarna och pyramiderna kallas euklidiska simplex. Punkt är en 0-simplex, linje en 1-simplex, triangel en 2-simplex, samt pyramid är en 3-simplex.

/David Armini

Varför mäts area i kvadratenheter?

Matematik anklagas för att vara fyrkantig i bildlig bemärkelse, särskilt av personer med negativa erfarenheter från skolans matematikundervisning. Vid reflektion över definitionen av area, kan man också fråga sig om det finns ett bokstavligt fyrkantigt tänkande inom matematik och matematikundervisning.

För varför mäts area i kvadratenheter?
För att det är “naturligt”?
För att det är enkelt?
Av hävd? Tradition?

Jag tror att det är godtyckligt, rätta mig om jag har fel, och att man axiomatiskt definierar att en areaenhet (ae) är en kvadrat med sidan en längdenhet (le).
Men vi hade lika gärna kunnat definiera exempelvis att en ae är en liksidig triangel med sidan en le.
Eller?

Resonemanget springer ur en reflektion varför kvadrater känns så enkla och om de verkligen är det, eller om det är en inövad uppfattning. Ungefär som 5 och 10 känns enkla att räkna med, men det i själva verket bara handlar om en vana att räkna med dem och att själva talsystemet godtyckligt utgår från 10. Om vi hade haft en 12-talssystem så hade 6 och 12 varit de enkla talen att räkna med, medan 5 och 10 hade varit besvärliga tal.

Det är lockande att säga för att en kvadrat är enklare att konstruera. Men är den det? Jo, att rita. Eller tänk att dela upp ett papper i trianglar i stället för rektanglar. Onekligen verkar det enklare att klippa sönder papperet i rektanglar.
Väl?
Eller är det bara en vanesak? Och dessutom att papperet är rektangulärt från början.

Tänk följande:
Konstruera en (någorlunda) perfekt liksidig triangel och en dito kvadrat med såg och pinnar.
Liksidig triangel: Ta en pinne och måtta så att du sågar till två som är (någorlunda) identiskt långa. Lägg dem i en triangel och du har en (någorlunda) perfekt liksidig triangel.
För att få samma precision att skapa en kvadrat med fyra pinnar, är långt svårare. Vi som har tränat på kvadrater i decennier kan nog få till en skaplig, men en treåring skulle få ihop en liksidig triangel som slår de flesta vuxnas kvadrater.

Och detsamma gäller för pyramider jämfört med kuber. I ännu högre grad. Att skapa en kub med tolv pinnar är kort och gott skitsvårt. Och att skapa en pyramid med sex pinnar är kort och gott skitenkelt.

Kan triangeln vara en enklare form än kvadraten? En form som skulle vara intuitivt enklare att utgå från? Spontant känns det som att mycket i livet är fyrkantigt – datorskärmen, åkerlappar, A4-sidor, fönster, dörrar.

Men tänk om en del människors hjärnor skulle ha enklare att ta till sig vissa koncept som area om det utgick från en triangel. Min egen erfarenhet av att undervisa omkring 1 000 elever på Chalmers Tekniska Högskola i matematik var att nästan varje person jag mötte, hade sitt eget sätt att förstå matematik. I en majoritet av fallen är det individuella angreppssätt väsentligen annorlunda än det som presenteras i läromedlen – samtidigt som det ofta är svårt att argumentera för att det ena eller andra sättet varken är bättre eller sämre.

Jag vill inte driva tesen att trianglar skulle vara pedagogiskt enklare för att förstå areabegreppet. Däremot vill jag bestämt hävda att matematiken är alldeles för fyrkantigt tänkande i att det ska finnas ett enda och rätt sätt att förstå matematik. Min absoluta och orubbliga uppfattning är att matematik är allt annat än fyrkantigt. Däremot är ofta undervisningen i matematik fyrkantig.

/David Armini

Räkna stora mängder fåglar

Såhär kan fältanteckningar också så ut.

Det var nämligen många ljungpipare i dag i områdena Eskilstorpsholmarna och Näsholmarna. Vid ett tillfällen drog en biffig pilgrimsfalk upp dem så att de (i princip) samlades i en flock.
”Oj va många! Tio, tjugo, trettio. Hundra, tvåhundra, trehundra. Eh… Tusen, tvåtusen…” Någonstans där kände jag att jag passerat alla bräddar vad gällde precision. 2 000? Eller 50 000? I huvudet drog jag till med 10 000.

Ta en bild och räkna prickar? Men flocken var långt borta, det hade bara blivit blurr.
Jag försökte följande i stället:
Jag stod på ytterst spetsen av Lilla Hammars Näs.
Jag hade ganska god uppfattning att flocken rörde sig hitom eller i höjd med Eskilstorpsholmarna, men närmare dessa än Näsholmarna. Flocken var alltså på ca 1 500 – 2 000 meters avstånd.
Jag kunde vid ett tillfälle nära nog exakt pricka in att flocken sträckte sig från Öresundsbrons sverigefäste till Turning Torso. (Enslinjer. Flocken var inte inne i Malmö)
Enligt kompassen på telefon låg brofästet på 339 grader och Turning Torso på 9 grader. Flocken sträckte alltså ut sig över rätt exakt 30 grader.
Lite högstadiematte ger att flocken då bör ha sträckt ut sig över 750 – 1 000 meter.

Så långt känns det rätt solitt, åtminstone jämfört med nästa steg, som är mycket svårare – hur många ljungpipare fanns det då per meter flock?

Tittat på lite bilder i AP och mätt upp en meter breda spalter (med hjälp av att ljungpiparen är ca 25 cm lång) och räknat. Uppåt 40 ljungpipare får jag i sådana vertikala, 1 meter breda spalter, i flockar som jag tycker liknar den jag såg. Men den siffran får nog betraktas som ett maximum. Jag skulle gissa på att snittet för flocken bör ha legat någonstans mellan 10 och 25 individer per meter flock.
Detta skulle ge att flocken innehöll mellan 750 * 10 = 7 500 ljungpipare och 25 * 1 000 = 25 000 ljungpipare.

Det är ju inte precis någon exakt skattning. Men styrker åtminstone att jag inte var ute o cyklade när jag drog till med 10 000?

/David Armini

Varför häckar inte fåglar i Afrika och Asien och flyttar till oss?

Varför finns det inga arter som har omvänd häcknings-/flytt-/övervintringscykel, det vill säga häckar söder om oss under vintern och flyttar norrut mot våra breddgrader för att översomra hos oss? Vad är det som gör att massiva mängder arter häckar hos oss och övervintrar i söder, medan (nästan) inga häckar i söder och översomrar i norr?

Eller finns det sådana arter?

Jag har även ställt frågan på Vår Skådarvärld på Facebook. Nedan följer några vidare tankar.

Egentligen finns inget hinder att en art skulle kunna häcka i Afrika under vår vinter, för att till sommaren flytta norrut och översomra hos. Det nu gällande beteende utvecklades i samband med den senaste istiden. Fåglar tvingades då söderut under vintern, men på sommaren kunde de återvända en bit norrut för att utnyttja tillgången på föda då. När sedan istiden upphörde, fortsatte samma beteende.
Att helt reversera beteendet är en stor förändring. En art ska då börja häcka på vintern i stället för på sommaren, och börja flytta norrut. Det är stor omställningar, för vilka det förmodligen krävs någon yttre faktor för att trigga omställningen.

Å andra sidan kan sägas att istiden var nyligen ur ett evolutionärt perspektiv, men att det verkar som att fåglar är mycket snabba på att anpassa sig, som pilgrimsfalk och svart rödstjärt som snabbt ändrat sig från att häcka bland berg till skyskrapor. Ett annat exempel är hur Paddyfield Pipit utvecklats från större piplärka – det börjar med att enstaka större piplärkor stannar kvar i söder på övervintringsplatsen i Indien, sedan blir de fler och fler, börjar häcka, blir stannfåglar, börja anpassa storlek och färg, etc, etc.
Det är en utveckling som kan gå fort. Om inte decennier så åtminstone sekler snarare än millennier.
Och då kan man tänka såhär: Fåglar är opportunister som griper varje tillfälle att skaffa sig reproduktiva fördelar. Fåglar är många. De har rätt korta livscykler (några års livslängd för små pippisar och med reproduktion varje år).
Och då verkar det märkligt att inte en endaste art testar en helt ny strategi och vänder flyttmönstret.
Men där kanske svaret ligger? Att det är en helt ny strategi?
Det kanske är större förändringar hos en fågel som behövs för att framgångsrikt häcka i söder och övervintra i norr, som att ändra när äggen läggs mm – vilket kanske är mycket svårare att få till stånd jämfört med att anpassa storlek och färg?

Men i Amerika finns några exempel som åtminstone tangerar detta.

Ladusvala har tidigare uteslutande häckat på norra halvklotet och flyttat till södra halvklotet, men under 1980-talet etablerades det en population på ett fåtal par i nordöstra Argentina. Sedan dess har denna sydliga population växt till tusentals par. Det är okänt hur den sydliga populationens flyttvanor ser ut, men en så utpräglad transkontinental långflyttare har klarat av att justera sin inre klocka med 6 månader för att häcka under den sydliga sommaren. Om de sydliga fåglarna skulle flytta tillbaka och översomra i norr skulle ju det dock vara extremt svårt att veta utan ringmärkningsåterfynd eller sändardata, eftersom de ju bara skulle se ut som vilka icke-häckande ladusvalor som helst.
http://www.eeb.cornell.edu/winkler/Publication%20Copies/Billerman-2011-Auk-Population%20Genetics.pdf
Enligt isotopanalyser verkar det som att den Argentinska populationen av ladusvalor flyttar till nordöstra Sydamerika under den sydliga vintern.
http://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371%2Fjournal.pone.0055654
(Redigerad text skriven på FB av Victor Nilsson-Örtman.)

I Sydamerika förekommer det också en del andra landsfågelarter som flyttar norrut, vissa t.o.m. tusentals kilometer. T.ex. den sydligaste underarten av gaffelstjärtstyrann (Fork-tailed Tyrant), som häckar bl.a. i Argentina, övervintrar i norra Sydamerika och Västindien. Den långdistansflyttande underarten påträffas årligen även i USA, och det finns t.o.m. ett fynd från Spanien.
(Redigerad text skriven på FB av Andreas Uppstu.)

/David Armini

Den relativa felaktigheten av kunskap

Jorden är platt.
Det finns drakar.
Solen snurrar runt jorden.
Atomer är odelbara.
Man blir frisk av att åderlåtning.

Universum är 13,7 miljarder år gammalt.
Kvarkar, bosoner, elektroner, m.fl. är de minsta och odelbara partiklarna.
Vi kan bota en massa sjukdomar med olika piller.

Vetenskapen och kunnandet verkar – i ett långt perspektiv – oftare ha fel än den har rätt. Vi kan nästan räkna med att mycket av det vi tar för givet idag, kommer att ses som vidskepelse och absurditeter i framtiden. Åtminstone har det varit på det sättet genom hela mänsklighetens historia. Varje ny generation har gjort framsteg och insikter som fått tidigare kunnande och vetenskap att framstå som nästan naiva fantasier.

Är då hela kunskapsbygget med vetenskap, undervisning och utbildning meningslöst? Varför skall vi forska fram resultat och sedan lära ut dem, när vi nästan med säkerhet kommer att kunna motbevisa dem en dag i framtiden?

Samtidigt har vi haft nytta av många av kunskaperna – fast de visat sig felaktiga. Det gick att navigera för tusentals år sedan. Vi kan flyga idag, ända till månen om vi så vill. Vi kan bygga datorer och verkar kunna bota ganska många sjukdomar. Skall vi förkasta den kunskapen för att det finns en risk att framtiden kommer att skratta åt vår naivitet och vidskepelse?

Kanske ligger missuppfattningen i att tänka på kunskap som absolut, det vill säga att det skulle finnas kunskap som håller – oavsett sammanhang. Begrepp som kunskap, sant, falskt, vetenskap – de kanske bara kan existera i ett sammanhang.

Tid, avstånd och hastighet går inte att isolera från varandra – man måste ta hänsyn till vilken hastighet du rör dig med, för att det skall vara relevant att prata om tid. Så kanske det är även med kunskap. Det är bara om du tar hänsyn till vilken omgivning du befinner dig i som det är relevant att tala om ett påstående som sant eller falskt. Utan hänsyn taget till kontexten är det meningslöst att tala om sanningshalten i kunskap.

Därför kan det kontradiktoriska påståenden vara sanna – beroende på vilket sammanhang du befinner dig i. Under medeltiden var åderlåtning ett bra sätt att bota sjukdomar, drakar fanns, jorden var platt och solen snurrade runt jorden. Det paradigm som människor befann sig i då, gjorde den kunskapen bra och relevant. Eller åtminstone innebar harmlöst felaktiga uppfattningar.
Visst kan man hävda att exempelvis åderlåtningen var så farligt att folk faktiskt dog till följd den, men kanske var det tillräckligt många som blev friska med placebo.

För missta dig inte. Placebo är förmodligen den sammantaget starkaste medicin vi fortfarande har och åtminstone undertecknad hyser inget tvivel om att vi i framtiden kommer att fnysa åt den medicinska vetenskapen runt millennieskiftet. Samtidigt som det i dag, här och nu, är fantastiskt vilka framsteg som gjorts vad gäller att bota infektioner och många andra sjukdomar.

Medicinsk vetenskap anno 2016 är bra och hjälper många. Men den är inte sann – mycket handlar om chansningar och tro. Bara det att en färgad tablett kan väntas ha starkare läkande kraft på en patient, jämfört med en vit tablett – säger inte det allt om hur primitiv vår inställning till medicin och annan vetenskap och kunskap är?

/David Armini

 

Svarta svanar och Big Data

Det har rapporterats om kontroversiella och fantastiska resultat med Big Data-analyser. Som att kvinnor som byter från parfymerad till oparfymerad hudkräm några månader senare får blöjreklam. Praktiskt eller kränkande – som sagt, välj själv. De etiska ställningstagandena till hur mycket information vi egentligen vill lämna ifrån om oss är en diskussion för sig men Big Data lider även av andra problem.

Big Data är stora kvantiteter information som sparas och processas maskinellt.  Facebook, Twitter, Google, Apple och många andra av de företag som exploderat i storlek på bara några år arbetar just med Big Data och konsumenter. De exploaterar maskinellt upptäckta samband och tjänar ofattbara summor pengar på att rikta reklam och erbjudanden anpassade till just dig.

Man kan förstå det med exempelvis Ica-kortet:
All information om vad du handlar och frivilligt väljer att registrera genom att dra Ica-kortet sparas. Inte bara artiklarna, utan även datum och klockslag, hur länge du var inne i butiken, vädret utanför, när du är född och tusentals andra variabler. Använder du dessutom en scanner inne i butiken kommer den även att registrera i vilken ordning du köper varorna, hur länge du pausar vid en hylla (som för att välja mellan olika varor), om du ångrar dig och avscannar någonting.
Mängden data som samlas in om dig är alldeles för stor för att en människa skulle klara att processa information. Förmodligen skulle en hel vetenskap kunna byggas upp kring bara en enda persons köpbeteende. I stället får automatiserade algoritmer leta mönster. Datorn behöver inte förstå mönstren, den skall bara hitta dem. Allt förstås för att jag som konsument skall “få en bättre köpupplevelse”, det vill säga handla mer och “hitta till varor som intresserar mig”, det vill säga handla mer.

Utöver etiken – vad är då problemet? Ta självkörande bilar som exempel. Google-bilen, Volvos och Teslas självkörande bilar – samtliga bygger de enkelt uttryckt på principen att de får köra väldigt många mil och samla in väldigt stora datamängder. Tanken är att algoritmerna varit med om varje möjlig situation och lärt sig hur de skall hanteras.
Men det är ju inte sant. Bilarna kommer att utsättas för svarta svanar, det vill säga situationer som inte kunnat förutsägas. Som att ett flygplan störtar på vägen. Eller att en igelkott och en katt springer ut samtidigt på vägbanan. Eller något av tiotusentals miljoners miljarder andra möjligheter som kanske bara inträffar en endaste gång i världshistorien.
En människa är fenomenal på att improvisera, att hitta en lösning på ett problem som hen inte varit med om tidigare, medan datorer är usla på det.
Nu är jag den förste som är anhängare av självkörande bilar: Datorer är långt bättre bilförare än människor. Däremot måste vi förstå begränsningarna. Datorer är (nästan) ofelbara om vi ger dem rätt instruktioner, men det kommer vi inte att göra, så därför kommer det att ske olyckor även med självkörande bilar. De kommer att bli färre, men vi skall vara medvetna om att de kommer att ske.

Ett annat exempel är när du söker på Google eller en annan sökmotor. De flesta söksträngar genererar alltför många träffar för sökaren skall titta igenom alla. I de flesta fall stannar hen på den första sidan av sökresultat (åtminstone gör undertecknad det). Sökmotorn arbetar med statistik och mest sannolikt letar du ju efter det som de flesta andra som sökt med liknande sökfras letat efter.
Men därmed blir sökmotorn en förstärkare av redan starka varumärken – desto fler någon söker på “gympaskor”, får upp Nike och klickar på Nike, desto mer övertygade blir algoritmerna om att det är just Nike du vill ha om du söker på den frasen.

Big Data förmår inte heller att hantera svarta svanar. Det är bra att lära sig av sina misstag och att använda historisk statistik för att förutsäga extremt väder, jordbävning, för att köra bilar, larma om personer som är på väg in i spelmissbruk och med lite större tvekan att upptäcka och kartlägga köpbeteenden hos konsumenter eller avgöra försäkringspremier och återbetalningsförmåga av banklån.

Däremot är det ett misstag att tro att Big Data kommer att klara allt. Algoritmerna kommer inte att kunna förutsäga allt som kan hända under en bilfärd – människor kommer att dö för att den sjävkörande bilar kommer att hamna i situationer som inte gick att förutsäga. Likadant kommer Big Data-baserade beslut att dra felaktiga slutsater om vem som kan att betala av ett lån, vem som hamnar i spelmissbruk, vem som är intresserad av blöjreklam eller vem som är intresserad att läsa den här notisen..

/David Armini

Svarta svanar, i fågelskådning och filosofi

…rara avis in terris nigroque simillima cygno

Poeten Juvenals dikt är det tidigast kända onämnadet av svarta svanar som fritt översatt blir “…en svart svan en sällsynt fågel i världen”. Juvenal levde i Rom omkring 100 år efter Kristi födelse och frasen syftade på hur känsligt ett system av slutsatser kan vara. Vid tidpunkten kände man inte till att svarta svanar existerade – slutsatsen var att alla svanar är vita, men att observation av en enda svart svan skulle falsifiera det.

Under 1500-talet i London skall uttrycket ha varit vanligt för att uttrycka att något är omöjligt – alla noteringar i den då kända världen var ju av vita svanar. Om inte en svart svan var omöjlig, så existerade åtminstone inga sådana. Men 1697 blev holländska upptäcksresande i västra Australien de första européer som såg svarta svanar. Uttrycket “svarta svanar” kom att i stället för att beteckna något otänkbart, att symbolisera att något som uppfattas som omöjligt, senare kan visa sig vara möjligt.

File:Black Swan at Martin Mere.JPG

Foto: © Francis C. Franklin

Libanesisk-amerikanska debattören, statistikern, tradern och riskanalytikern Nassim Nicholas Taleb utkom 2007 med boken The Black Swan: The impact of the Highly Improbable. Enkelt uttryckt menar Taleb att vi inte kan förutsäga allt, men att vi tror oss kunna göra det. Exempel är kärnkraftskatastrofen i Fukushima eller orkanen Katrina. Och enligt Taleb själv uppkomsten av PCn, första världskriget, 11 september-attacken, Internet och snart sagt varje större historisk händelse, konstnärlig milstolpe och vetenskaplig upptäckt. Eller varför inte elden och hjulet.

Ta Fukushima och Katrina som exempel: Ingenjörer, politiker och samhällsbyggare planerar minutiöst. Man är väl medveten om riskerna för jordbävning, orkaner och tsunamis och bygger säkerhetsåtgärder som skall göra både städer och kärnkraftverk säkra. Men så kommer en jordbävning eller orkan som är lite större än man räknade med, eller som beter sig på ett lite annat sätt och katastrofen är ett faktum. I efterhand talas det dessutom ofelbart om att katastrofen hade gått att förutsäga – det handlade bara om individuella misstag. Hade alla gjort sitt jobb korrekt så hade inte New Orleans dränkts eller Fukushima smält.

Taleb listar tre faktorer för en svart svan:

  1. Händelsen är en överraskning (för observatören – notera att slakten är en svart svan för kalkonen, men inte för slaktaren)
  2. Händelsen har en stor påverkan
  3. Efter att en viss svart svan inträffat rationaliserar samhället, vetenskapen, individen eller marknaden händelsen och menar att händelsen borde ha förutsetts

Vi vet helt enkelt inte hur stora jordbävningar, orkaner eller tsunamis som kan inträffa. Eller om utomjordingar dyker upp i ett maskhål och anfaller oss. Eller om en jättelik meteor slår ned. Eller om Jimmie Åkesson blir vår nästa stadsminister. Liksom vi inte kan veta vad nästa riktigt stora teknologiska eller filosofiska landvinning kommer att bli.
Vi kan inte veta det. Vi kommer aldrig att veta det. Ändå kommer vi i efterhand att mena att det var logiskt – vi borde ha förutsett att Portugal vann EM, att Trump skulle bli Republikanernas presidentkandidat och att sommarvädret skulle bli soligt och varmt, och kallt och regnigt.
Allra tydligast är det inom ekonomin. Gång på gång inträffar oväntade svängningar som ekonomer i efterhand berättar varför det var logiskt att det hände.

Taleb menar att målsättningen inte skall vara att förutsäga svarta svanar utan i stället bygga strukturer som är robusta mot negativa svarta svanar och som är flexibla att utnyttja positiva.
Dessutom skall vi utveckla strategier för att “avoid being the turkey … to turn the Black Swans white” med Talebs egna ord.

/David Armini

 

Rätt svar

Den här gåtan eller matteproblemet har snurrat några varv på Facebook och andra ställen. Senaste tråden som svischade förbi hade 2 miljoner kommentarer.

aMGYYoA_700b

Plustecknet kan uppenbarligen inte uppfattas så som vi brukar tolka det och frågan är då hur fritt man skall tolka problemet. Mitt svar blev 96 – jag tänkte på siffrorna i till vänster om likamedtecknet som indata till en funktion som producerade resultatet till höger om likamedtecknet. De tre inledande raderna är därför:
( 1, 4) = 5
( 2, 5) = 12              (System A)
( 3, 6) = 21

Den snabba ökningen av resultatet när indata ökar, gör en gissning att indata skall multipliceras rimlig. 1 * 4 är 1 mindre än 5, 2 * 5 är 2 mindre än 12. Ja, någonstans där är det väl rimligt att tänka sig att formeln är:
f (x, y) = x (y + 1) = x * y + x

Den fjärde raden är därför ( 8, 11) = 96.

Det roliga är nu att det finns många som svarar 40 och många som svarar 96. (Algoritmen för att få svaret 40 är: x + y + svaret på föregående rad.)

Det väcker förstås många frågor! Är 40 eller 96 rätt svar? Finns fler kandidater till rätt svar? Om det finns flera kandidater till rätt svar, finns det någon urvalsmetod som formalisera kan välja det enklaste eller till och med bästa svaret?

Problemet är förstås att systemet är underbestämt: Systemet A har många lösningar. Bara för att ta en ur högen:
g (x, y) = x (x + 3) + y – 3

Sista raden blir då… Håll i dig… 96.
Ändå är inte funktionen f  lika med funktionen g. Anledningen att detta inträffar är att i formuleringen av talet så finns ett enkelt samband med x och y:
y = x + 3

Sätt in det i både f och g så blir de likadana:
f (x, y) = f (x, x + 3) = x * (x + 3) + x =
       = x * x + 3 x
g (x, y) = g (x, x + 3) = x (x + 3) + x + 3 – 3 =
       = x * x + 3 x

Systemet A kan alltså enklare formuleras som:
( 1 ) = 5
( 2 ) = 12              (System B)
( 3 ) = 21

Men då är det väl än mer uppenbart att med så lite information kan man välja lite vilken lösning vad vill? Ansätt till exempel med en tredjegradsekvation och vi har direkt ett oändligt antal lösningar, till exempel:
h ( x ) = – x * x * x / 6 + 2 x * x + 13 x / 6 + 1

h ( 8 ) blir i det här fallet 61.

Drar man relativismen till sin extrem är det lockande att säga “Svaret blir ‘gul’ – för det tycker jag är det bästa svaret”.

Det blir som i Liftarens guide till galaxen av Douglas Adams:
Svaret på frågan om Livet, universum och allting?
42.
Ja, men vad är frågan då?

Om frågan är ofullständigt formulerad, så kan svaret bli vad som helst. Matematik ger exakta svar, men bara på exakta frågor.

/David Armini

Jag tror inte på den fria viljan

…men jag måste leva som om jag trodde på den.

Citatet är inte mitt eget, det var min salig farfar som sa det till mig någon gång på 1990-talet. Nu skall en komma ihåg att min farfar var en rackare till att säga saker för att få igång en diskussion. Det hände ofta att han tog på sig åsikter som var i direkt motsägelse till vad han sagt i andra diskussioner, eller som verkade motsägelsefulla till hans personlighet.

Nu tror jag på den fria viljan – jag behöver bara gå till närmaste Ica och förvirrat bli stående 10 minuter i gången med 200 pastasorter för att få en stark känsla av att jag har en fri vilja. Alldeles för mycket fri vilja. Nu är det förstås inte ett bevis: Jag skulle kunna vara förutbestämd att uppleva det som att jag har ett val och att stå där och vela mellan bronsvalsad tagliatelle för 39:90 kr/kg, ekologiska penne för 44:90 kr/kg, Kungsörnens fiberberikade spaghetti för 29:90 kr/kg och 197 andra sorter. Men bevis eller inte bevis, så räcker det för att ge en upplevelse av att ha ett fritt val.

Trots dessa invändningar finner jag fortfarande tanken intressant: Även om vi vore predestinerade av signalsubstanser, gravitationsvågor, kvarkar och allt annat som vi vet, och ännu inte vet, bestämmer i universum, så måste vi ändå tänka på oss själva som om vi hade en fri vilja.
Även om vi saknar fri vilja, behöver vi ge oss själva erkännandet att vi har det. Om inte annat skulle vi inte klara att leva om vi trodde oss om att vara förprogrammerade köttrobotar.

Det finns situationer som påminner om ovanstående tanke om den fria viljan.

Demokrati: Det är långt ifrån ett perfekt system, men vi måste förlita oss på att det är det bästa statsskicket hittills i historien. (Däremot får man inte glömma “hittills”. Och nej, sms-röstning kommer sannolikt inte att väsentligen utveckla demokratin.)

Våld löser ingent: Det finns nog situationer där våld måste användas. Skulle jag med våld försöka försvara mitt barn om det hotades? Självklart.
Men jag tror på att ställa in sig på att våld aldrig skall behöva användas. Rätten att bruka nödvärn innebär inte fler poliser, mer övervakning eller att bära vapen.

Obegränsad yttrandefrihet: Självklart skall man få säga precis vad som helst. Och självklart skall man tillämpa hänsyn och respekt när man säger något.
Men varför kan man inte lagstifta om “tillämpa hänsyn och respekt”?
Jo, det kan man. Men då missar vi målet. Vi kan reglera och styra och bestämma och till del är det bra: Det blir ett budskap – ungefär som jag säger till mig själv att “jag har en fri vilja”, även om jag inte är 100 % säker så lever jag som om jag har en fri vilja. Liknande sänder samhället ett budskap med “det är förbjudet att kränka andra”.
Men skillnaden ligger långsiktigt i om vi lever som om vi har en fri vilja, och om vi lever som om alla har ömsesidig hänsyn och respekt för varandra.

/David Armini