Är siffror 3, 6 och 9 kvar oftare i Sudoku?

Nej, med all sannolikhet inte.

Upprinnelsen är att undertecknad rätt ofta löser, eller försöker lösa, Sudoku. I ett svårare pussel hjälper det att skriva ut kvarvarande siffror. Och om det är tre siffror kvar, visst är det vanligare att de tre siffrorna är 3, 6 och 9, än exempelvis 1, 4 och 7 eller någon annan kombination?

Fenomenet är välbekant. Många upplever nog att de råkar titta på klockan vid ett visst klockslag och får för sig att det finns en magi som får en att se på klockan just 10:20, 10:10 eller 13:37.

I själva verket handlar det om positiv affirmation; Vi tenderar att minnas tillfällena som bekräftar reglerna vi skapat i huvudet i stil med och ignorerar resten. Förmodligen handlar det om ett mänskligt behov av att skapa ordning i en till synes kaotisk omvärld.

Betydligt otäckare än att vi kan uppleva detta med klockan, är förstås när samhället delas upp i läger: Ena sidan ser tecken överallt på att en mur mot Mexiko är enda räddningen. Andra sidan är övertygad om att en mur är onödig och tycker sig likaledes hitta bevis för detta i allt de iakttar.

Tyvärr tenderar starkare övertygelse om att ha rätt, att leda till större tendens att tolka fakta fel

Tillbaka till Sudoku. Finns fog för att det är mer sannolikt att de tre sista siffrorna är just 3, 6 och 9? Följdfrågan blir förstås att räkna ut hur många kombinationer som är möjliga, eller vad sannolikheten är att det är just en viss sifferkombination vilket är ett överraskande svårt problem, även om vi antar att de olika kombinationerna är homogent fördelade.

Problemet kan formuleras på olika sätt:

  • I en påse med nio bollar numrerade 1 till 9  – vad är sannolikheten att ta upp bollarna 3, 6 och 9?
  • I en kvadrat med tre rutor numrerade 1 till 9, på hur många sätt går det att placera ut 3 stenar?

Det finns flera lösningar förstås, där en är följande:
Det är 9 siffror inblandade, 9 siffror kan sättas samman till ett 3-siffrigt tal på 9 x 9 x 9 = 729 olika vis. Det här tar emellertid med för många tal. Exempelvis ska vi inte ha med talen 111, 222, 333, vi ska alltså tar bort 9. Sedan ska vi ta bort de 72 tal som börjar med två likadana siffror, som 112, 113, 778. Även de 72 tal som har de två sista siffrorna och de 72 som har den första och sista siffran lika.

Kvar har vi nu 504 tal. Men det är fortfarande för många. Samtliga 504 av dessa tal har nu egenskapen att de består av tre olika siffror av 1 till 9. Emellertid har vi med permutationer: Talen 123, 132, 213, 231, 312 samt 321 finns alla med, men ska egentligen bara räknas en gång.

Resultatet är alltså 504 delat på 6, eller 84.

Så kan det inte hjälpas, men det är så tillfredsställande att räkna ut saker i Excel… Så här kan en lösning med hjälp av Excel se ut:

1:a2:a3:e fr.o.m.3:e t.o.m.Antal
12397
13496
14595
15694
16793
17892
18991
23496
24595
25694
26793
27892
28991
34595
35694
36793
37892
38991
45694
46793
47892
48991
56793
57892
58991
67892
68991
78991
   Summa84

Fler och betydligt elegantare lösningar finns förstås!

Slutsats? Om det är tre siffror kvar i en ruta så kan det vara en av 84 kombinationer. I en given sudoku är kan det handla om runt tjugo rutor som vid något tillfälle har tre siffror kvar. Det betyder att i snitt borde siffrorna 3, 6 och 9 vara kvar i en ruta i var fjärde sudoku och plötsligt känns det inte alls som att just denna sifferkombination dyker upp anmärkningsvärt ofta.

/David Armini

Cirklar vs trianglar och kvadrater, del 3

I en föregående text avfärdades cirklar och sfärer som kandidater till att vara de enklaste geometriska objekten i två respektive tre dimensioner. Samtidigt finns det något tillfredsställande enkelt med både cirkeln och sfären. Många tilltalas av det jämna och mjuka, särskilt jämfört med de vassa kanterna hos exempelvis trianglar eller rektanglar.

Ett argument mot sfärer och cirklar är vad som händer då de generaliseras. Givetvis finns ett stringent teoretiskt bygge kring dessa objekt. Sfären kallas då en 2-sfär, cirkeln kallas en 1-sfär. Generaliserat nedåt i dimensionerna så får vi en 0-sfär i en dimension och för att konstruktionen ska hållas samman blir 0-sfären något tråkigt en linje mellan två punkter.

Det knöliga här jämfört med både kvadrater och trianglar är att det är svårt att förstå hur de enklare objekten i lägre dimensioner kan användas för att bilda objekten i högre dimensioner; Med några en-dimensionella streck bildas en triangel i två dimensioner, och några tvådimensionella trianglar kan användas för att bygga en pyramid. Det går med hård ansträngning till och med att få en viss uppfattning om hur pyramider kan användas för att konstruera 4-simplex. Ungefär samma gäller för kvadrater och kuber.

Men hur konstruerar du en 1-sfär (en cirkel) med 0-sfärer (en linje)? Eller en 2-sfär (ett klot eller en sfär) med 1-sfärer. Det går. Absolut. Men det faller sig inte alls lika enkelt, åtminstone inte för undertecknad.

Om inte förr börjar något skava nu: ”åtminstone inte för undertecknad”. Vi är väl bekanta med att olika personer har olika fallenhet för olika sätt att tänka. Den ena sägs vara begåvad i musik, den andre att spela fotbollen och en tredje i matematik. Pröva därför följande tanke:

Under lång tid har personer med fallenhet för matematik på ett visst sätt fått definiera vad matematik är och hur undervisning i matematik ska bedrivas. Men tänk nu om detta stänger ute personer från matematiken? Tänk om det finns personer som, bara för att ta ett exempel, har lättare att se hur en 2-sfärer konstrueras med 1-sfärer, men som samtidigt har svårare att ta till sig hur en 3-simplex konstrueras med 2-simplex.

Undertecknads anekdotiska erfarenhet av detta är likartad: Vid undervisning på Chalmers och Göteborgs Universitet har jag träffat på flera personer som exempelvis föreföll ha lättare att ta till sig svårare begrepp än enkla. Samtidigt byggs matematisk undervisning enligt sten-på-sten-princip: Tycker du att liggande stolen är konstig så kommer du att aldrig att få resonera om topologier eller Manhattan-metriker. Bara för att nämna något.

Det som är potentiellt oroande och samtidigt spännande, är om det finns personer som döms ut, inte minst av sig själva, som matematiskt obegåvade, men som skulle kunna föra matematiken framåt.

/David Armini

Trianglar vs kvadrater, del 2

Vilka är de enklaste geometriska objekten?

Det är lockande att säga cirkel och sfär i två respektive tre dimensioner och det går kanske att argumentera för dem. Men exempelvis finns inget endimensionellt som korresponderar någorlunda naturligt.

Ett förslag är i stället följande att utgå från en punkt. I geometriskt hänseende borde det vara enklast möjliga. (Vilket alltid kan ifrågasättas – vad är ”enkelt”, vad är ”geometriskt hänseende”, etc, etc, men släpp det än så länge.)

Gör sedan enligt följande:

  • Starten är noll dimensioner och en punkt.
  • Sedan lägger vi till en punkt i taget.
  • Samtidigt som vi lägger till en punkt ökar vi antalet dimensioner med ett steg.
  • Punkten vi lägger till ska ha samma avstånd till alla tidigare punkter. (Igen… vad är avstånd, etc, men om vi antar att det är väldefinierat, etc, etc.)

Vad händer då?
I en dimension så har vi förstås två punkter och en linje mellan dem.
I 2 dimensioner händer lite mer – följ ovanstående så blir det en liksidig triangel: Tre lika långa sidor mellan tre punkter. Och om man vill ett plan (ytan som omsluts av linjerna).
I 3 dimensioner så ska vi enligt ovan lägga till en punkt till och placera den på samma avstånd från de tre punkterna vi hade i två dimensioner. Vi får förstås en liksidig pyramid som består av fyra punkter, 6 lika långa linjer och 4 likadana, liksidiga trianglar.

Det blir ganska snajsigt:

Dimensioner0123
Punkter1234
Linjer136
Trianglar14

Efter lite grunnande går det att generalisera:

Dimensioner01234567
Punkter12345678
Linjer13610152128
Trianglar1410203556
Pyramider15153570
”4dkropp”162156
”5dkropp”1728
”6dkropp”18
”7dkropp”1

Den ”enklaste” kroppen i 4d begränsas alltså av 5 punkter, 10 linjer, 10 trianglar och 5 pyramider.

Det här är ju klurigt i sig att fundera på. Men det är ingeting vad som händer om man försöker ge sig på ett liknande resonemang med där 2d-objektet är en kvadrat och 3d-objektet en kub.

Det finns ingen tes eller slutsats i detta. Eller möjligen om det finns aspekter i matematik, matematikforskning och matematikundervisning som skulle bli enklare om vi utgick från trianglar istf kvadrater…?
Vi pratar bokstavligen om att tänka ”fyrkantigt”. Kanske skulle det finnas pedagogiska vinster med att släppa kvadraterna…?

….och så kan det läggas till att det här givetvis inte några som helst nyheter. Trianglarna och pyramiderna kallas euklidiska simplex. Punkt är en 0-simplex, linje en 1-simplex, triangel en 2-simplex, samt pyramid är en 3-simplex.

/David Armini

Varför mäts area i kvadratenheter?

Matematik anklagas för att vara fyrkantig i bildlig bemärkelse, särskilt av personer med negativa erfarenheter från skolans matematikundervisning. Vid reflektion över definitionen av area, kan man också fråga sig om det finns ett bokstavligt fyrkantigt tänkande inom matematik och matematikundervisning.

För varför mäts area i kvadratenheter?
För att det är ”naturligt”?
För att det är enkelt?
Av hävd? Tradition?

Jag tror att det är godtyckligt, rätta mig om jag har fel, och att man axiomatiskt definierar att en areaenhet (ae) är en kvadrat med sidan en längdenhet (le).
Men vi hade lika gärna kunnat definiera exempelvis att en ae är en liksidig triangel med sidan en le.
Eller?

Resonemanget springer ur en reflektion varför kvadrater känns så enkla och om de verkligen är det, eller om det är en inövad uppfattning. Ungefär som 5 och 10 känns enkla att räkna med, men det i själva verket bara handlar om en vana att räkna med dem och att själva talsystemet godtyckligt utgår från 10. Om vi hade haft en 12-talssystem så hade 6 och 12 varit de enkla talen att räkna med, medan 5 och 10 hade varit besvärliga tal.

Det är lockande att säga för att en kvadrat är enklare att konstruera. Men är den det? Jo, att rita. Eller tänk att dela upp ett papper i trianglar i stället för rektanglar. Onekligen verkar det enklare att klippa sönder papperet i rektanglar.
Väl?
Eller är det bara en vanesak? Och dessutom att papperet är rektangulärt från början.

Tänk följande:
Konstruera en (någorlunda) perfekt liksidig triangel och en dito kvadrat med såg och pinnar.
Liksidig triangel: Ta en pinne och måtta så att du sågar till två som är (någorlunda) identiskt långa. Lägg dem i en triangel och du har en (någorlunda) perfekt liksidig triangel.
För att få samma precision att skapa en kvadrat med fyra pinnar, är långt svårare. Vi som har tränat på kvadrater i decennier kan nog få till en skaplig, men en treåring skulle få ihop en liksidig triangel som slår de flesta vuxnas kvadrater.

Och detsamma gäller för pyramider jämfört med kuber. I ännu högre grad. Att skapa en kub med tolv pinnar är kort och gott skitsvårt. Och att skapa en pyramid med sex pinnar är kort och gott skitenkelt.

Kan triangeln vara en enklare form än kvadraten? En form som skulle vara intuitivt enklare att utgå från? Spontant känns det som att mycket i livet är fyrkantigt – datorskärmen, åkerlappar, A4-sidor, fönster, dörrar.

Men tänk om en del människors hjärnor skulle ha enklare att ta till sig vissa koncept som area om det utgick från en triangel. Min egen erfarenhet av att undervisa omkring 1 000 elever på Chalmers Tekniska Högskola i matematik var att nästan varje person jag mötte, hade sitt eget sätt att förstå matematik. I en majoritet av fallen är det individuella angreppssätt väsentligen annorlunda än det som presenteras i läromedlen – samtidigt som det ofta är svårt att argumentera för att det ena eller andra sättet varken är bättre eller sämre.

Jag vill inte driva tesen att trianglar skulle vara pedagogiskt enklare för att förstå areabegreppet. Däremot vill jag bestämt hävda att matematiken är alldeles för fyrkantigt tänkande i att det ska finnas ett enda och rätt sätt att förstå matematik. Min absoluta och orubbliga uppfattning är att matematik är allt annat än fyrkantigt. Däremot är ofta undervisningen i matematik fyrkantig.

/David Armini

Linjär algebra åter i lager på Cremona

Efter att ha varit slut på Cremona under en period finns åter häftet Linjär algebra i lager där.

/David Armini

Enklare matematik nu på Akademibokhandeln

Mattehäftena Enklare matematik nu på Akadademibokhandeln.

Enklare matematik nu på CDON.com

Mattehäftena Enklare Matte finns nu på CDON.com.

Enklare matematik nu på Bokus

Mattehäftena Enklare matematik nu på Bokus.

Enklare matematik nu på Adlibris

Mattehäftena Enklare matematik finns nu att köpa från Adlibris.

 

Fyra myror är lika många som fyra elefanter

Eeen, tvåååå, treeee…

Redan när barn är mycket små börjar vi träna dem i talbegrepp. Min yngsta dotter är drygt ett år och jag ljudar tal med henne när vi flyttar Lego-bitar eller något annat:
Antal är något människan uppfunnit och vi måste träna oss att använda dem.

Jag har många gånger argumenterat för att begreppet noll är en av de viktigaste uppfinningar i mänsklighetens historia. Begreppet ”en tom mängd” är mycket abstrakt även om det inte är några större problem att omfamna ett utryck som att ”äppleskålen är tom – det finns inga äpplen kvar”. Att däremot identifiera ”noll äpplen” som en manipulerbar mängd är långt ifrån självklart.

Vad är egentligen ”noll äpplen”? För att få en känsla av hur märkligt begreppet noll är, jämför ett äpple och ett päron. Självklart är inte ett päron och ett äpple samma sak. Men hur är det med noll äpplen och noll päron – är det samma sak?

Vilket för oss in på kanske en än viktigare uppfinning för mänsklighetens utveckling, nämligen symboliska tal. Ett äpple och ett päron är inte samma sak, men de är av samma antal, i det här fallet ett. Idag är det redan för små barn gripbart att det finns abstrakta, symboliska tal som har ett värde oberoende av vad vi pratar om. Tio bananer är lika många som tio hangarfartyg.
Fyra myror är lika många som fyra elefanter.

Men detta är på långa vägar självklart. Tänk hur olika saker har fått olika måttenheter – en ”hord getter”, en ”skäppa säd”, ett ”tjog ägg”, en ”flock fåglar”. Många av dessa uttryck lever kvar idag.

En teori är att det började med herdar som räknade fåren eller getterna de vallade. När herden tog ut boskapen på bete plockade hen en sten för varje djur och la i en påse. Kvällen, när det var dags att samla ihop djuren, plockade herden bort en sten för varje får eller get – blev det stenar över så saknades något djur. Utan att ha egentligen räkneord kopplade till vissa antal, kunde ändå herden förstå att två mängder kunde ha lika många element, trots att mängderna var sammansatta av olika sorter.

En indikation på att våra hjärnor egentligen inte är konstruerade för att räkna är att titta på en mängd av någonting. Getter, fåglar, prickar, streck.

ska%cc%88rmavbild-2016-10-14-kl-08-53-22

Jag får tala för mig – men jag behöver räkna strecken ett i taget, eller kanske två åt gången. Det är bara mycket små mängder som går att omedelbart ”se” hur många element det är. 1, 2, 3 kanske 4, men om det är 5 objekt måste åtminstone jag räkna dem, eller gruppera dem som 2 + 3 och då ”se” antalet 2 och antalet 3 och sedan använda min kunskap att 2 + 3 är lika med 5.

Småningom skaffade sig befolkningen i de tidiga civilisationerna ord som kopplade samman till ett abstrakt antal, att ordet ”två” skall motsvara antalet två. Idag är detta så djupt rotat i oss att det knappt går att föreställa sig att inte förstå att ordet ”två” betyder talet två. Eller ännu djupare – att talet två motsvarar antalet två.
Eller ett steg djupare till.
Att det alls är relevant att prata om antal.

Åtminstone min stackars dotter kommer i alla fall att växa upp med att det är väldigt relevant att tala om antal.

/David Armini