Enklare matematik nu på Akademibokhandeln

Mattehäftena Enklare matematik nu på Akadademibokhandeln.

Enklare matematik nu på CDON.com

Mattehäftena Enklare Matte finns nu på CDON.com.

Enklare matematik nu på Bokus

Mattehäftena Enklare matematik nu på Bokus.

Enklare matematik nu på Adlibris

Mattehäftena Enklare matematik finns nu att köpa från Adlibris.

 

Fyra myror är lika många som fyra elefanter

Eeen, tvåååå, treeee…

Redan när barn är mycket små börjar vi träna dem i talbegrepp. Min yngsta dotter är drygt ett år och jag ljudar tal med henne när vi flyttar Lego-bitar eller något annat:
Antal är något människan uppfunnit och vi måste träna oss att använda dem.

Jag har många gånger argumenterat för att begreppet noll är en av de viktigaste uppfinningar i mänsklighetens historia. Begreppet ”en tom mängd” är mycket abstrakt även om det inte är några större problem att omfamna ett utryck som att ”äppleskålen är tom – det finns inga äpplen kvar”. Att däremot identifiera ”noll äpplen” som en manipulerbar mängd är långt ifrån självklart.

Vad är egentligen ”noll äpplen”? För att få en känsla av hur märkligt begreppet noll är, jämför ett äpple och ett päron. Självklart är inte ett päron och ett äpple samma sak. Men hur är det med noll äpplen och noll päron – är det samma sak?

Vilket för oss in på kanske en än viktigare uppfinning för mänsklighetens utveckling, nämligen symboliska tal. Ett äpple och ett päron är inte samma sak, men de är av samma antal, i det här fallet ett. Idag är det redan för små barn gripbart att det finns abstrakta, symboliska tal som har ett värde oberoende av vad vi pratar om. Tio bananer är lika många som tio hangarfartyg.
Fyra myror är lika många som fyra elefanter.

Men detta är på långa vägar självklart. Tänk hur olika saker har fått olika måttenheter – en ”hord getter”, en ”skäppa säd”, ett ”tjog ägg”, en ”flock fåglar”. Många av dessa uttryck lever kvar idag.

En teori är att det började med herdar som räknade fåren eller getterna de vallade. När herden tog ut boskapen på bete plockade hen en sten för varje djur och la i en påse. Kvällen, när det var dags att samla ihop djuren, plockade herden bort en sten för varje får eller get – blev det stenar över så saknades något djur. Utan att ha egentligen räkneord kopplade till vissa antal, kunde ändå herden förstå att två mängder kunde ha lika många element, trots att mängderna var sammansatta av olika sorter.

En indikation på att våra hjärnor egentligen inte är konstruerade för att räkna är att titta på en mängd av någonting. Getter, fåglar, prickar, streck.

ska%cc%88rmavbild-2016-10-14-kl-08-53-22

Jag får tala för mig – men jag behöver räkna strecken ett i taget, eller kanske två åt gången. Det är bara mycket små mängder som går att omedelbart ”se” hur många element det är. 1, 2, 3 kanske 4, men om det är 5 objekt måste åtminstone jag räkna dem, eller gruppera dem som 2 + 3 och då ”se” antalet 2 och antalet 3 och sedan använda min kunskap att 2 + 3 är lika med 5.

Småningom skaffade sig befolkningen i de tidiga civilisationerna ord som kopplade samman till ett abstrakt antal, att ordet ”två” skall motsvara antalet två. Idag är detta så djupt rotat i oss att det knappt går att föreställa sig att inte förstå att ordet ”två” betyder talet två. Eller ännu djupare – att talet två motsvarar antalet två.
Eller ett steg djupare till.
Att det alls är relevant att prata om antal.

Åtminstone min stackars dotter kommer i alla fall att växa upp med att det är väldigt relevant att tala om antal.

/David Armini

Minus minus

Bland det mest grundläggande inom matematik som ofta upplevs som svårgripbart är varför ”minus minus blir plus”. Följande förklaring med att ta över (plus) eller bli av med (minus), sparkonton (plus) eller lån (minus) har jag använt för att illustrera det på ett förhoppningsvis intuitivt sätt.

Siffrorna som används är förstås godtyckliga och används bara för att göra det mer gripart och konkret.

Plus plus blir plus
(+2) * (+3)
Tar över två sparkonton med 3 kr på varje = + 6

Plus minus blir minus
(+2) * (-3)
Tar över två lånekonton med 3 kr i skuld på varje = – 6

Minus plus blir minus
(-2) * (+3)
Blir av med två sparkonton med 3 kr på varje = – 6

Och så själva cloun
Minus minus blir plus
(-2) * (-3)
Blir av med två lånekonton med 3 kr i skuld på varje = + 6

Sedan blir det ännu lite mer abstrakt när det exempelvis står -(-5). Varför skulle ”minus, minus fem” bli plus fem?

Tänk på samma sätt, när du börjar så har du en skuld om 5 kr. Alltså minus 5. Sedan tar du bort (minus) denna skuld. ”Minus minus 5”, skulle alltså betyda att bli av med en skuld på 5 kronor. Nettoeffekten blir alltså att ditt nettokapital har öka med fem kronor.

Ta ett exempel till.
Tänk att du har hundra kronor och så är du skyldig Bettan 5 kronor. Netto äger du då 95 kronor (tillgångar minus skulder).
Bettan säger nu i ett anfall av generositet att hon efterskänker skulden. Din förmögenhet blir då:

95 kr – (-5 kr) = 95 kr + 5 kr = 100 kr

Jag hoppas att någon fått lättare att få en intuitiv känsla för vad minus minus betyder!

/David Armini

Varför finns det irrationella tal?

Och varför vill åtminstone en del av oss bestämma dem så exakt som möjligt?

De irrationella talen irriterar och skaver. Det är tal som inte kan skrivas ut exakt med vårt siffersystem. Och det är inte några konstiga konstanter som används i knepiga modeller för att beskriva rumtiden eller något annat abstrakt. Lösningen till ekvationen {x}^{2}=2 kan inte beskrivas med ett rationellt tal, utan är \sqrt{2} vilket ungefär är 1,4142… och så en oändlig sekvens av nästan slumpmässiga siffror.

Likadant diagonalen i en kvadrat med sidan 1. Också här är svaret \sqrt{2} . Eller en cirkel med diametern 1 som har omkretsen pi. Detta förbannade jäkla underbara tal pi.

Talet pi består av en oändlig serie siffror i nästan slumpvis ordning. Mitt personnummer finns i pi. Ditt personnummer. Och inte bara det. De förekommer oändligt många gånger. Bland de första tvåhundra miljoner decimalerna av pi finns mitt födelsedatum 19730719 med 3 gånger. Första gången på plats 126 629 623.

Översatt till text finns varje bok som någonsin skrivits också i talet pi. Och varje bok baklänges. Och varje bok som någonsin kommer att skrivas. Dessutom finns alla dessa – just det – ett oändligt antal gånger. Det ger en liten pust av vad oändligheten är.

Och samma sak gäller för\sqrt{2}  och alla andra irrationella tal. Det kliar både obehagligt och fascinerande för en naturvetenskapligt lagd hjärna som länge trodde att allt gick att beskriva enkelt med siffror.

Jag har själv hittat på formler för att beräkna pi och jag kan inte bestämma mig för vilket som är konstigast. Om det visat sig att formeln lett till något enkelt, som att pi i själva verket är exakt 3 och några tusen år av matematisk forskning hittills haft fel. Eller som nu, där samma konstiga oändliga sekvens av siffror vecklade upp sig inför mina ögon: 3,14159265358979…

Har vi fel matematiska system? Eller inte fel förstås, men ligger det och lurar ett enklare system, ett med bara rationella tal, så att pi och \sqrt{2} kan beskrivas enkelt. Ett talsystem med basen pi?

Det finns andra matematiska system. Vi kommer att uppfinna ett annat, enklare system. Kanske imorgon. Kanske om 1000 år, om vi fortfarande finns då. Kanske kan det beskriva pi och \sqrt{2} på ett enklare sätt.

/David Armini

Rekursiv formel för beräkning av pi

Kanske får det vara mitt amatörbidrag till matematiken. Troligare finns formeln redan, eller andra, smartare och elegantare varianter. Var så god och sök på webben 🙂

Formeln bygger på iakttagelsen att en regelbunden månghörning som är inskriven i en cirkel med radien 1, har en omkrets som närmar sig pi när antalet hörn blir större.

Idén är att börja med en kvadrat inskriven i cirkeln. Den har omkretsen 2\sqrt{2} . Dubbla sedan antalet hörn till 8. Dess sida kan relativt enkelt beräknas med hjälp av kvadraten. Nästa steg är en 16-hörning, vars sida kan beräknas med åttahörningen. Etc.

Alltså:
Antag att vi har en cirkel med radie 1.
I cirkeln skriver vi in en regelbunden månghörning med 2^{n} hörn, där n>1.
Antag vidare att vi känner till hur lång sidan är på denna månghörning.
Kan vi då beräkna sidan på månghörningen med 2^{n+1} hörn?

Låt oss dela upp den första månghörningen (den med 2^{n} hörn) i likbenta trianglar med toppen i cirkelns mitt. Varje triangel ser då ut något i stil med nedanstående figur. Dela även upp den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar:

tri6

Vi antar som sagt att för rektangeln med 2^{n} hörn så har vi räknat ut sidan C. Omkretsen på denna månghörning kommer då att vara {C_{n}}*2^{n} Omkretsen av cirkeln med radien 1 är enligt skolboken 2 * \pi . När antalet hörn ökar kommer alltså {C_{n}}*2^{n - 1} att bli en bättre och bättre approximation av pi.

Låt nästa steg vara en månghörning med dubbelt så många hörn, 2^{n+1}. Dela även upp denna månghörning i likbenta trianglar med topp i cirkelns mitt, och dela upp den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar:

tri8

Observera nu att de blåmarkerade trianglarna är kongruenta. Med den iakttagelsen går det att hitta ett samband mellan {C_{n}} och {C_{n+1}}. Med lite räknande får man sambandet:

{C_{n+1}} = \sqrt{2 - \sqrt{4-C_{n}^2}}

Enkelt uttryckt innebär det att vi har ett samband mellan sidan på en månghörning och sidan på en månghörning med dubbet så många hörn.

Givet att en regelbunden månghörning inskriven i en cirkel med radien 1 har sidan {C_{n}}, så vet vi nu att månghörningen med dubbelt så många hörn har omkretsen:

2^{{n}+1}{C_{n+1}} =2^{{n}+1}\sqrt{2 - \sqrt{4-C_{n}^2}}

Efter lite mer räkningar kan vi nu ta fram en rekursiv formel för successiv beräkning av pi:

\pi_{{n}+1}=2^{({n}+1)/2}\sqrt{2^{n}-\sqrt{4^{n}-\pi_{n}^2}}

Startvärdet är en kvadrat inskriven i cirkeln, dvs {n}=2:

\pi_{1}=2\sqrt{2}

Utvecklingen går någorlunda snabbt. Approximation för pi blir:

4-hörning: \pi\approx 2,8
8-hörning: \pi\approx 3,06
16-hörning: \pi\approx 3,12
32-hörning: \pi\approx 3,137
64-hörning: \pi\approx 3,140
128-hörning: \pi\approx 3,1413
256-hörning: \pi\approx 3,14151
512-hörning: \pi\approx 3,14157
1024-hörning: \pi\approx 3,141588
2048-hörning: \pi\approx 3,141591
4096-hörning: \pi\approx 3,1415923
8192-hörning: \pi\approx 3,1415925

/David Armini

 

Oändligheten

The Little Bird of Svithjod
High up in the north, in the land called Svithjod, there stands a rock. It is a hundred miles high and a hundred miles wide. Once every thousand years a little bird comes to this rock to sharpen its beak.  When the rock has thus been worn away, then a single day of eternity will have gone by.
The Story of Mankind av Hendrik Willem Van Loon

Vi är många som fascineras av vad oändligheten är. Känslan för mig är hisnande. Som att stå vid havet under en storm. Nära en avgrund. Ett åskoväder. Oändligheten trotsar på något sätt vårt försök att tygla naturen med lagar och formler, liksom vi inte kan kontrollera oväder, vulkaner, jordbävningar eller tsunamis.

Oändligheten och de irrationella talen, är två saker i matematiken som skrattar oss i ansiktet åt våra lama försöka att kunna skriva ned allting. Att hitta enkla förklaringar och samband.

Det finns en del sätt att få en känsla av hur stort oändligheten är. Eller snarare få en känsla av att vi inte förstår hur stort det är, ungefär som att stå där på stranden, mitt i stormen, och bara acceptera.

Talet pi består av en oändlig serie siffror i nästan slumpvis ordning. Mitt personnummer finns i pi. Ditt personnummer. Och inte bara det. De förekommer oändligt många gånger. Bland de första tvåhundra miljoner decimalerna av pi finns mitt födelsedatum 19730719 med 3 gånger. Första gången på plats 126 629 623. Här kan du kontrollera var ditt födelsedatum finns i pi.

Översatt till siffror finns varje bok som någonsin skrivits också i talet pi. Och varje bok baklänges. Och varje bok som någonsin kommer att skrivas. Dessutom finns alla dessa – just det – ett oändligt antal gånger. Det ger en liten pust av vad oändligheten är.

Inom matematiken pratar man om olika stora oändligheter. De minsta oändligheterna är de som som går att räkna upp. Exempelvis de naturliga talen: 1, 2, 3, 4, … Vi blir aldrig klara, men de går åtminstone att ordna. Decimalerna i pi är en annan uppräkningsbar oändlighet. Nästa och större oändlighet, är exempelvis de reella talen. Det finns ”fler” reella tal mellan 0 och 1 än det finns naturliga tal. Det går inte ens att hitta det första talet att börja med. Säg att du har hittat det minsta talet som är större än noll, kalla det x. Ja men då har vi ju direkt ett som är mindre, nämligen hälften av x. Och x / 10, x / 3, x / 100, x / 100 000. Någonstans där suger det till i min mage, jag känner liksom ett vinddrag av hur jäkla stort oändligheten faktiskt är.

Ungefär som när jag tänker på den 100 miles höga och långa muren som det kommer en fågel var tusende år och skärper näbben på.
When the rock has thus been worn away, then a single day of eternity will have gone by.

Rätt svar

Den här gåtan eller matteproblemet har snurrat några varv på Facebook och andra ställen. Senaste tråden som svischade förbi hade 2 miljoner kommentarer.

aMGYYoA_700b

Plustecknet kan uppenbarligen inte uppfattas så som vi brukar tolka det och frågan är då hur fritt man skall tolka problemet. Mitt svar blev 96 – jag tänkte på siffrorna i till vänster om likamedtecknet som indata till en funktion som producerade resultatet till höger om likamedtecknet. De tre inledande raderna är därför:
( 1, 4) = 5
( 2, 5) = 12              (System A)
( 3, 6) = 21

Den snabba ökningen av resultatet när indata ökar, gör en gissning att indata skall multipliceras rimlig. 1 * 4 är 1 mindre än 5, 2 * 5 är 2 mindre än 12. Ja, någonstans där är det väl rimligt att tänka sig att formeln är:
f (x, y) = x (y + 1) = x * y + x

Den fjärde raden är därför ( 8, 11) = 96.

Det roliga är nu att det finns många som svarar 40 och många som svarar 96. (Algoritmen för att få svaret 40 är: x + y + svaret på föregående rad.)

Det väcker förstås många frågor! Är 40 eller 96 rätt svar? Finns fler kandidater till rätt svar? Om det finns flera kandidater till rätt svar, finns det någon urvalsmetod som formalisera kan välja det enklaste eller till och med bästa svaret?

Problemet är förstås att systemet är underbestämt: Systemet A har många lösningar. Bara för att ta en ur högen:
g (x, y) = x (x + 3) + y – 3

Sista raden blir då… Håll i dig… 96.
Ändå är inte funktionen f  lika med funktionen g. Anledningen att detta inträffar är att i formuleringen av talet så finns ett enkelt samband med x och y:
y = x + 3

Sätt in det i både f och g så blir de likadana:
f (x, y) = f (x, x + 3) = x * (x + 3) + x =
       = x * x + 3 x
g (x, y) = g (x, x + 3) = x (x + 3) + x + 3 – 3 =
       = x * x + 3 x

Systemet A kan alltså enklare formuleras som:
( 1 ) = 5
( 2 ) = 12              (System B)
( 3 ) = 21

Men då är det väl än mer uppenbart att med så lite information kan man välja lite vilken lösning vad vill? Ansätt till exempel med en tredjegradsekvation och vi har direkt ett oändligt antal lösningar, till exempel:
h ( x ) = – x * x * x / 6 + 2 x * x + 13 x / 6 + 1

h ( 8 ) blir i det här fallet 61.

Drar man relativismen till sin extrem är det lockande att säga ”Svaret blir ’gul’ – för det tycker jag är det bästa svaret”.

Det blir som i Liftarens guide till galaxen av Douglas Adams:
Svaret på frågan om Livet, universum och allting?
42.
Ja, men vad är frågan då?

Om frågan är ofullständigt formulerad, så kan svaret bli vad som helst. Matematik ger exakta svar, men bara på exakta frågor.

/David Armini