Trianglar vs kvadrater, del 2

Vilka är de enklaste geometriska objekten?

Det är lockande att säga cirkel och sfär i två respektive tre dimensioner och det går kanske att argumentera för dem. Men exempelvis finns inget endimensionellt som korresponderar någorlunda naturligt.

Ett förslag är i stället följande att utgå från en punkt. I geometriskt hänseende borde det vara enklast möjliga. (Vilket alltid kan ifrågasättas – vad är ”enkelt”, vad är ”geometriskt hänseende”, etc, etc, men släpp det än så länge.)

Gör sedan enligt följande:

  • Starten är noll dimensioner och en punkt.
  • Sedan lägger vi till en punkt i taget.
  • Samtidigt som vi lägger till en punkt ökar vi antalet dimensioner med ett steg.
  • Punkten vi lägger till ska ha samma avstånd till alla tidigare punkter. (Igen… vad är avstånd, etc, men om vi antar att det är väldefinierat, etc, etc.)

Vad händer då?
I en dimension så har vi förstås två punkter och en linje mellan dem.
I 2 dimensioner händer lite mer – följ ovanstående så blir det en liksidig triangel: Tre lika långa sidor mellan tre punkter. Och om man vill ett plan (ytan som omsluts av linjerna).
I 3 dimensioner så ska vi enligt ovan lägga till en punkt till och placera den på samma avstånd från de tre punkterna vi hade i två dimensioner. Vi får förstås en liksidig pyramid som består av fyra punkter, 6 lika långa linjer och 4 likadana, liksidiga trianglar.

Det blir ganska snajsigt:

Dimensioner0123
Punkter1234
Linjer136
Trianglar14

Efter lite grunnande går det att generalisera:

Dimensioner01234567
Punkter12345678
Linjer13610152128
Trianglar1410203556
Pyramider15153570
“4dkropp”162156
“5dkropp”1728
“6dkropp”18
“7dkropp”1

Den ”enklaste” kroppen i 4d begränsas alltså av 5 punkter, 10 linjer, 10 trianglar och 5 pyramider.

Det här är ju klurigt i sig att fundera på. Men det är ingeting vad som händer om man försöker ge sig på ett liknande resonemang med där 2d-objektet är en kvadrat och 3d-objektet en kub.

Det finns ingen tes eller slutsats i detta. Eller möjligen om det finns aspekter i matematik, matematikforskning och matematikundervisning som skulle bli enklare om vi utgick från trianglar istf kvadrater…?
Vi pratar bokstavligen om att tänka ”fyrkantigt”. Kanske skulle det finnas pedagogiska vinster med att släppa kvadraterna…?

….och så kan det läggas till att det här givetvis inte några som helst nyheter. Trianglarna och pyramiderna kallas euklidiska simplex. Punkt är en 0-simplex, linje en 1-simplex, triangel en 2-simplex, samt pyramid är en 3-simplex.

/David Armini

Om medfödd intelligens (Och matematik finns inte)

Hade ett långt, intressant och bitvis upprört samtal med min äldste son. Han menade att exempelvis “matematisk intelligens” beror till så stor del på miljön att det genetiska arvet kan försummas.

Och jag håller med: Genernas betydelse för vår matematiska förmåga (eller andra förmågor) är komplex. Troligen så komplex att det i praktiken bara handlar om uppväxt, utbildning, referenser och många andra faktorer. Både min son och jag har vuxit upp i en miljö där det är naturligt att säga “har du sett att de LEGO-bitarna utgör en äkta delmängd av de där?”. Betydelsen av att höra sådant, få det förklarat och förstå det – när man är 4 år gammal – kan inte överskattas. Eller när han som liten, fortfarande i 4-5-årsåldern fick lära sig om infinitesimala tal och att räkna i det binära talsystemet. Sådant formar hjärnan, stärker den, gör den intelligentare – precis som all sorts träning.

Hade vilket annat barn som helst kunnat lära sig samma saker som jag och min son gjorde när vi var så små? Ja, det tror jag och jag har många gånger önskat att jag fick möjligheten att ha en studiegrupp med några slumpmässigt utvalda barn, fyra-fem år gamla och från olika bakgrunder och sociala situationer. Min personliga övertygelse är att de skulle kunna lära sig både integralkalkyl och att räkna med imaginära tal.

Ett övertygande indicium är Suzuki-metoden för att lära barn musik. Utan tidigare urval får vem som helst lära sig spela ett instrument från unga år enligt parollen “Alla kan!”. Dessa barn kommer sedan under sin uppväxt att många gånger få höra vilken “talang” hen har. För övrigt har Sten Rydh ett förtjusande projekt att inspirera unga i matematik med inspiration från Suzuki-metoden.

I vilket fall blir livet så mycket roligare om vi antar att alla har samma chans. “Talang” visar sig oftare handla om viljan, orken och inspirationen att spendera de där 10 000 timmarna för att bli riktigt bra – vare sig det är i fotboll, fiol eller matematik.

/David Armini