Artikel i Fåglar på Västkusten om bestämning av måsar

Artikel publicerad i senaste numret av Fåglar på Västkusten, nummer 3 2019.

Här går det att bli medlem och prenumerant på tidningen.

Masskjutningar i Sverige

Det saknas en strikt definition av masskjutning, men en vanlig och intuitiv definition är att minst fyra personer skjuts vid ett tillfälle, ej räknat gärningsmannen/-männen. Det räknas som masskjutning vare sig personer dör eller överlever.

Så vitt jag vet har det efter andra världskriget förekommit två masskjutningar i Sverige:

  • Mattias Flink som i juni 1994 sköt ihjäl 7 personer och skadade 3.
  • Tommy Zethraeus som i december 1994 sköt ihjäl 4 personer och skadade 20.

Hur hade det sett ut om det skedde lika många masskjutningar i Sverige som i USA, räknat per capita? Låt oss titta på 2018 och vi gör en enkel jämförelse i direkt proportionalitet till befolkningen.

Befolkning
Miljoner
ÅrFaktor
USA328,2320181
Sverige10,18201832
Storstockholm2,362019139
Storgöteborg1,042019316
Stormalmö0,735 2019448

2018 skedde 426 masskjutningar i USA enligt Mass Shooting Tracker. Om vi använder strikt proportionalitet får vi följande tabell vid översättning till svenska förhållanden.

USASverige
Antal42613
Offer2 07764
Skadade1 54948
Dödade52816

Om vi går vidare och tittar på de tre storstadsregionerna i Sverige så får vi siffrorna i följande tabell.

StockholmGöteborgMalmö
Antal311
Offer1575
Skadade1153
Dödade421

/David Armini

Skjutningar i Sverige 2018 – jämförelse med USA

I Sverige skedde 306 skjutning under 2018. I USA skedde samma år 57 406 skjutningar.

USASverige
Antal57 406306
Offer43 010180
Skadade28 232135
Dödade14 77845

Hur ser det ut om de amerikanska siffrorna per capita översätts till Sverige? Om vi använder strikt proportionalitet, så får vi räkna om enligt följande tabell.

Befolkning
Miljoner
ÅrFaktor
USA328,2320181
Sverige10,18201832
Storstockholm2,362019139
Storgöteborg1,042019316
Stormalmö0,735 2019448

Om skjutningar skedde i samma omfattning i Sverige som i USA skulle förhållandena vara enligt följande tabell.

SverigeStockholmGöteborgMalmö
Antal1 781413182128
Offer1 33431013696
Skadade8762038963
Dödade4581064733

Nästan fem skjutningar om dagen skulle ske och mer än en person per dag skull skjutas till döds. I Göteborg skulle en skjutning ske prick varannan dag och knappt en person per vecka skulle skjutas till döds.

/David Armini

Artikel i Roadrunner

Artikel publicerad i senaste numret av Roadrunner, nummer 2 2019.

Här går det att bli prenumerant och medlem.

Ölands norra udde maj 2019

I fredags strax efter 11 hade jag en skulkande sångare på Ölands norra udde.
Med kikaren på väg upp snurrade några tankar:
“Det är nog sista gången för den här våren här…”
”Undrar om jag lyft kikaren tiotusen gånger för skulkande sylvior senaste veckorna?”
”Tänk om det är en rödstrupig denna gång!”
Det varit en ärtsångare. Igen. Men en väldigt fin ärtsångare. Det är de alla.

Jag har varit tre omgångar på Ölands norra udde under april och maj i år.
Många häftiga arter har det blivit med bland annat silkeshäger, gulhuvad gulärla, korttålärka, vittrut, sommargyllingar, 3 turturduvor, 2 lundsångare, svårbedömt antal ortolansparvar, flera mindre flugsnappare, brunglada, vittrut, pungmes, gulhämplingar och många andra arter. Fint sträck av ejder, vitkindad gås och prutgås.

Tidvis är det ensamt och man behöver vara bekväm i sitt eget sällskap. Särskilt i början av april. Men även under vardagar i maj kan det vara kilometrar till närmaste skådare. Eller ens människor.

Ibland är det frustrerande också. Mycket flyger förbi i en hiskelig fart och det räcker att vara vänd åt fel håll, eller stå på andra sidan av ett träd för att missa rariteterna. Häftigaste arten, en rödfalk, var jag kanske 100 meter ifrån – utan att se den! Och fyra sommargyllingar sågs under dagarna jag var där, varav jag bara såg en – och det en hastig kik i lånad tub, på långt håll, flygande.

Tack för alla fina upplevelser och fina fågelobservationer!
Och tack till alla trevliga fågelskådare som varit med att gräva fram guldklimparna.

Bilden kan innehålla: himmel, moln, utomhus, natur och vatten
Långe Erik
Bilden kan innehålla: en eller flera personer, personer som står, träd, gräs, barn, skor, himmel, utomhus och natur
Organiserat letande av dubbelbeckasin
Bilden kan innehålla: fågel, gräs, utomhus och natur
Gulhuvad gulärla 9 maj
Bilden kan innehålla: fågel, utomhus och vatten
Vittrut 25 maj
Bilden kan innehålla: växt, skor, utomhus och natur
Ortolansparv 6 maj
Bilden kan innehålla: himmel, växt, träd, utomhus och natur
Turturduva 19 maj
Bilden kan innehålla: himmel, hav, moln, växt, träd, utomhus, natur och vatten
Långe Erik 20 maj

Är siffror 3, 6 och 9 kvar oftare i Sudoku?

Nej, med all sannolikhet inte.

Upprinnelsen är att undertecknad rätt ofta löser, eller försöker lösa, Sudoku. I ett svårare pussel hjälper det att skriva ut kvarvarande siffror. Och om det är tre siffror kvar, visst är det vanligare att de tre siffrorna är 3, 6 och 9, än exempelvis 1, 4 och 7 eller någon annan kombination?

Fenomenet är välbekant. Många upplever nog att de råkar titta på klockan vid ett visst klockslag och får för sig att det finns en magi som får en att se på klockan just 10:20, 10:10 eller 13:37.

I själva verket handlar det om positiv affirmation; Vi tenderar att minnas tillfällena som bekräftar reglerna vi skapat i huvudet i stil med och ignorerar resten. Förmodligen handlar det om ett mänskligt behov av att skapa ordning i en till synes kaotisk omvärld.

Betydligt otäckare än att vi kan uppleva detta med klockan, är förstås när samhället delas upp i läger: Ena sidan ser tecken överallt på att en mur mot Mexiko är enda räddningen. Andra sidan är övertygad om att en mur är onödig och tycker sig likaledes hitta bevis för detta i allt de iakttar.

Tyvärr tenderar starkare övertygelse om att ha rätt, att leda till större tendens att tolka fakta fel

Tillbaka till Sudoku. Finns fog för att det är mer sannolikt att de tre sista siffrorna är just 3, 6 och 9? Följdfrågan blir förstås att räkna ut hur många kombinationer som är möjliga, eller vad sannolikheten är att det är just en viss sifferkombination vilket är ett överraskande svårt problem, även om vi antar att de olika kombinationerna är homogent fördelade.

Problemet kan formuleras på olika sätt:

  • I en påse med nio bollar numrerade 1 till 9  – vad är sannolikheten att ta upp bollarna 3, 6 och 9?
  • I en kvadrat med tre rutor numrerade 1 till 9, på hur många sätt går det att placera ut 3 stenar?

Det finns flera lösningar förstås, där en är följande:
Det är 9 siffror inblandade, 9 siffror kan sättas samman till ett 3-siffrigt tal på 9 x 9 x 9 = 729 olika vis. Det här tar emellertid med för många tal. Exempelvis ska vi inte ha med talen 111, 222, 333, vi ska alltså tar bort 9. Sedan ska vi ta bort de 72 tal som börjar med två likadana siffror, som 112, 113, 778. Även de 72 tal som har de två sista siffrorna och de 72 som har den första och sista siffran lika.

Kvar har vi nu 504 tal. Men det är fortfarande för många. Samtliga 504 av dessa tal har nu egenskapen att de består av tre olika siffror av 1 till 9. Emellertid har vi med permutationer: Talen 123, 132, 213, 231, 312 samt 321 finns alla med, men ska egentligen bara räknas en gång.

Resultatet är alltså 504 delat på 6, eller 84.

Så kan det inte hjälpas, men det är så tillfredsställande att räkna ut saker i Excel… Så här kan en lösning med hjälp av Excel se ut:

1:a2:a3:e fr.o.m.3:e t.o.m.Antal
12397
13496
14595
15694
16793
17892
18991
23496
24595
25694
26793
27892
28991
34595
35694
36793
37892
38991
45694
46793
47892
48991
56793
57892
58991
67892
68991
78991
   Summa84

Fler och betydligt elegantare lösningar finns förstås!

Slutsats? Om det är tre siffror kvar i en ruta så kan det vara en av 84 kombinationer. I en given sudoku är kan det handla om runt tjugo rutor som vid något tillfälle har tre siffror kvar. Det betyder att i snitt borde siffrorna 3, 6 och 9 vara kvar i en ruta i var fjärde sudoku och plötsligt känns det inte alls som att just denna sifferkombination dyker upp anmärkningsvärt ofta.

/David Armini

Cirklar vs trianglar och kvadrater, del 3

I en föregående text avfärdades cirklar och sfärer som kandidater till att vara de enklaste geometriska objekten i två respektive tre dimensioner. Samtidigt finns det något tillfredsställande enkelt med både cirkeln och sfären. Många tilltalas av det jämna och mjuka, särskilt jämfört med de vassa kanterna hos exempelvis trianglar eller rektanglar.

Ett argument mot sfärer och cirklar är vad som händer då de generaliseras. Givetvis finns ett stringent teoretiskt bygge kring dessa objekt. Sfären kallas då en 2-sfär, cirkeln kallas en 1-sfär. Generaliserat nedåt i dimensionerna så får vi en 0-sfär i en dimension och för att konstruktionen ska hållas samman blir 0-sfären något tråkigt en linje mellan två punkter.

Det knöliga här jämfört med både kvadrater och trianglar är att det är svårt att förstå hur de enklare objekten i lägre dimensioner kan användas för att bilda objekten i högre dimensioner; Med några en-dimensionella streck bildas en triangel i två dimensioner, och några tvådimensionella trianglar kan användas för att bygga en pyramid. Det går med hård ansträngning till och med att få en viss uppfattning om hur pyramider kan användas för att konstruera 4-simplex. Ungefär samma gäller för kvadrater och kuber.

Men hur konstruerar du en 1-sfär (en cirkel) med 0-sfärer (en linje)? Eller en 2-sfär (ett klot eller en sfär) med 1-sfärer. Det går. Absolut. Men det faller sig inte alls lika enkelt, åtminstone inte för undertecknad.

Om inte förr börjar något skava nu: ”åtminstone inte för undertecknad”. Vi är väl bekanta med att olika personer har olika fallenhet för olika sätt att tänka. Den ena sägs vara begåvad i musik, den andre att spela fotbollen och en tredje i matematik. Pröva därför följande tanke:

Under lång tid har personer med fallenhet för matematik på ett visst sätt fått definiera vad matematik är och hur undervisning i matematik ska bedrivas. Men tänk nu om detta stänger ute personer från matematiken? Tänk om det finns personer som, bara för att ta ett exempel, har lättare att se hur en 2-sfärer konstrueras med 1-sfärer, men som samtidigt har svårare att ta till sig hur en 3-simplex konstrueras med 2-simplex.

Undertecknads anekdotiska erfarenhet av detta är likartad: Vid undervisning på Chalmers och Göteborgs Universitet har jag träffat på flera personer som exempelvis föreföll ha lättare att ta till sig svårare begrepp än enkla. Samtidigt byggs matematisk undervisning enligt sten-på-sten-princip: Tycker du att liggande stolen är konstig så kommer du att aldrig att få resonera om topologier eller Manhattan-metriker. Bara för att nämna något.

Det som är potentiellt oroande och samtidigt spännande, är om det finns personer som döms ut, inte minst av sig själva, som matematiskt obegåvade, men som skulle kunna föra matematiken framåt.

/David Armini

Trianglar vs kvadrater, del 2

Vilka är de enklaste geometriska objekten?

Det är lockande att säga cirkel och sfär i två respektive tre dimensioner och det går kanske att argumentera för dem. Men exempelvis finns inget endimensionellt som korresponderar någorlunda naturligt.

Ett förslag är i stället följande att utgå från en punkt. I geometriskt hänseende borde det vara enklast möjliga. (Vilket alltid kan ifrågasättas – vad är ”enkelt”, vad är ”geometriskt hänseende”, etc, etc, men släpp det än så länge.)

Gör sedan enligt följande:

  • Starten är noll dimensioner och en punkt.
  • Sedan lägger vi till en punkt i taget.
  • Samtidigt som vi lägger till en punkt ökar vi antalet dimensioner med ett steg.
  • Punkten vi lägger till ska ha samma avstånd till alla tidigare punkter. (Igen… vad är avstånd, etc, men om vi antar att det är väldefinierat, etc, etc.)

Vad händer då?
I en dimension så har vi förstås två punkter och en linje mellan dem.
I 2 dimensioner händer lite mer – följ ovanstående så blir det en liksidig triangel: Tre lika långa sidor mellan tre punkter. Och om man vill ett plan (ytan som omsluts av linjerna).
I 3 dimensioner så ska vi enligt ovan lägga till en punkt till och placera den på samma avstånd från de tre punkterna vi hade i två dimensioner. Vi får förstås en liksidig pyramid som består av fyra punkter, 6 lika långa linjer och 4 likadana, liksidiga trianglar.

Det blir ganska snajsigt:

Dimensioner0123
Punkter1234
Linjer136
Trianglar14

Efter lite grunnande går det att generalisera:

Dimensioner01234567
Punkter12345678
Linjer13610152128
Trianglar1410203556
Pyramider15153570
“4dkropp”162156
“5dkropp”1728
“6dkropp”18
“7dkropp”1

Den ”enklaste” kroppen i 4d begränsas alltså av 5 punkter, 10 linjer, 10 trianglar och 5 pyramider.

Det här är ju klurigt i sig att fundera på. Men det är ingeting vad som händer om man försöker ge sig på ett liknande resonemang med där 2d-objektet är en kvadrat och 3d-objektet en kub.

Det finns ingen tes eller slutsats i detta. Eller möjligen om det finns aspekter i matematik, matematikforskning och matematikundervisning som skulle bli enklare om vi utgick från trianglar istf kvadrater…?
Vi pratar bokstavligen om att tänka ”fyrkantigt”. Kanske skulle det finnas pedagogiska vinster med att släppa kvadraterna…?

….och så kan det läggas till att det här givetvis inte några som helst nyheter. Trianglarna och pyramiderna kallas euklidiska simplex. Punkt är en 0-simplex, linje en 1-simplex, triangel en 2-simplex, samt pyramid är en 3-simplex.

/David Armini

Varför mäts area i kvadratenheter?

Matematik anklagas för att vara fyrkantig i bildlig bemärkelse, särskilt av personer med negativa erfarenheter från skolans matematikundervisning. Vid reflektion över definitionen av area, kan man också fråga sig om det finns ett bokstavligt fyrkantigt tänkande inom matematik och matematikundervisning.

För varför mäts area i kvadratenheter?
För att det är “naturligt”?
För att det är enkelt?
Av hävd? Tradition?

Jag tror att det är godtyckligt, rätta mig om jag har fel, och att man axiomatiskt definierar att en areaenhet (ae) är en kvadrat med sidan en längdenhet (le).
Men vi hade lika gärna kunnat definiera exempelvis att en ae är en liksidig triangel med sidan en le.
Eller?

Resonemanget springer ur en reflektion varför kvadrater känns så enkla och om de verkligen är det, eller om det är en inövad uppfattning. Ungefär som 5 och 10 känns enkla att räkna med, men det i själva verket bara handlar om en vana att räkna med dem och att själva talsystemet godtyckligt utgår från 10. Om vi hade haft en 12-talssystem så hade 6 och 12 varit de enkla talen att räkna med, medan 5 och 10 hade varit besvärliga tal.

Det är lockande att säga för att en kvadrat är enklare att konstruera. Men är den det? Jo, att rita. Eller tänk att dela upp ett papper i trianglar i stället för rektanglar. Onekligen verkar det enklare att klippa sönder papperet i rektanglar.
Väl?
Eller är det bara en vanesak? Och dessutom att papperet är rektangulärt från början.

Tänk följande:
Konstruera en (någorlunda) perfekt liksidig triangel och en dito kvadrat med såg och pinnar.
Liksidig triangel: Ta en pinne och måtta så att du sågar till två som är (någorlunda) identiskt långa. Lägg dem i en triangel och du har en (någorlunda) perfekt liksidig triangel.
För att få samma precision att skapa en kvadrat med fyra pinnar, är långt svårare. Vi som har tränat på kvadrater i decennier kan nog få till en skaplig, men en treåring skulle få ihop en liksidig triangel som slår de flesta vuxnas kvadrater.

Och detsamma gäller för pyramider jämfört med kuber. I ännu högre grad. Att skapa en kub med tolv pinnar är kort och gott skitsvårt. Och att skapa en pyramid med sex pinnar är kort och gott skitenkelt.

Kan triangeln vara en enklare form än kvadraten? En form som skulle vara intuitivt enklare att utgå från? Spontant känns det som att mycket i livet är fyrkantigt – datorskärmen, åkerlappar, A4-sidor, fönster, dörrar.

Men tänk om en del människors hjärnor skulle ha enklare att ta till sig vissa koncept som area om det utgick från en triangel. Min egen erfarenhet av att undervisa omkring 1 000 elever på Chalmers Tekniska Högskola i matematik var att nästan varje person jag mötte, hade sitt eget sätt att förstå matematik. I en majoritet av fallen är det individuella angreppssätt väsentligen annorlunda än det som presenteras i läromedlen – samtidigt som det ofta är svårt att argumentera för att det ena eller andra sättet varken är bättre eller sämre.

Jag vill inte driva tesen att trianglar skulle vara pedagogiskt enklare för att förstå areabegreppet. Däremot vill jag bestämt hävda att matematiken är alldeles för fyrkantigt tänkande i att det ska finnas ett enda och rätt sätt att förstå matematik. Min absoluta och orubbliga uppfattning är att matematik är allt annat än fyrkantigt. Däremot är ofta undervisningen i matematik fyrkantig.

/David Armini

Linjär algebra åter i lager på Cremona

Efter att ha varit slut på Cremona under en period finns åter häftet Linjär algebra i lager där.

/David Armini