Etikett: Matematik

Eeen, tvåååå, treeee…

Redan när barn är mycket små börjar vi träna dem i talbegrepp. Min yngsta dotter är drygt ett år och jag ljudar tal med henne när vi flyttar Lego-bitar eller något annat:
Antal är något människan uppfunnit och vi måste träna oss att använda dem.

Jag har många gånger argumenterat för att begreppet noll är en av de viktigaste uppfinningar i mänsklighetens historia. Begreppet ”en tom mängd” är mycket abstrakt även om det inte är några större problem att omfamna ett utryck som att ”äppleskålen är tom – det finns inga äpplen kvar”. Att däremot identifiera ”noll äpplen” som en manipulerbar mängd är långt ifrån självklart.

Vad är egentligen ”noll äpplen”? För att få en känsla av hur märkligt begreppet noll är, jämför ett äpple och ett päron. Självklart är inte ett päron och ett äpple samma sak. Men hur är det med noll äpplen och noll päron – är det samma sak?

Vilket för oss in på kanske en än viktigare uppfinning för mänsklighetens utveckling, nämligen symboliska tal. Ett äpple och ett päron är inte samma sak, men de är av samma antal, i det här fallet ett. Idag är det redan för små barn gripbart att det finns abstrakta, symboliska tal som har ett värde oberoende av vad vi pratar om. Tio bananer är lika många som tio hangarfartyg.
Fyra myror är lika många som fyra elefanter.

Men detta är på långa vägar självklart. Tänk hur olika saker har fått olika måttenheter – en ”hord getter”, en ”skäppa säd”, ett ”tjog ägg”, en ”flock fåglar”. Många av dessa uttryck lever kvar idag.

En teori är att det började med herdar som räknade fåren eller getterna de vallade. När herden tog ut boskapen på bete plockade hen en sten för varje djur och la i en påse. Kvällen, när det var dags att samla ihop djuren, plockade herden bort en sten för varje får eller get – blev det stenar över så saknades något djur. Utan att ha egentligen räkneord kopplade till vissa antal, kunde ändå herden förstå att två mängder kunde ha lika många element, trots att mängderna var sammansatta av olika sorter.

En indikation på att våra hjärnor egentligen inte är konstruerade för att räkna är att titta på en mängd av någonting. Getter, fåglar, prickar, streck.

Jag får tala för mig – men jag behöver räkna strecken ett i taget, eller kanske två åt gången. Det är bara mycket små mängder som går att omedelbart ”se” hur många element det är. 1, 2, 3 kanske 4, men om det är 5 objekt måste åtminstone jag räkna dem, eller gruppera dem som 2 + 3 och då ”se” antalet 2 och antalet 3 och sedan använda min kunskap att 2 + 3 är lika med 5.

Småningom skaffade sig befolkningen i de tidiga civilisationerna ord som kopplade samman till ett abstrakt antal, att ordet ”två” skall motsvara antalet två. Idag är detta så djupt rotat i oss att det knappt går att föreställa sig att inte förstå att ordet ”två” betyder talet två. Eller ännu djupare – att talet två motsvarar antalet två.
Eller ett steg djupare till.
Att det alls är relevant att prata om antal.

Åtminstone min stackars dotter kommer i alla fall att växa upp med att det är väldigt relevant att tala om antal.

/David Armini

Och varför vill åtminstone en del av oss bestämma dem så exakt som möjligt?

De irrationella talen irriterar och skaver. Det är tal som inte kan skrivas ut exakt med vårt siffersystem. Och det är inte några konstiga konstanter som används i knepiga modeller för att beskriva rumtiden eller något annat abstrakt. Lösningen till ekvationen $latex {x}^{2}=2&s=1$ kan inte beskrivas med ett rationellt tal, utan är $latex \sqrt{2}&s=1$ vilket ungefär är 1,4142… och så en oändlig sekvens av nästan slumpmässiga siffror.

Likadant diagonalen i en kvadrat med sidan 1. Också här är svaret $latex \sqrt{2}&s=1$ . Eller en cirkel med diametern 1 som har omkretsen pi. Detta förbannade jäkla underbara tal pi.

Talet pi består av en oändlig serie siffror i nästan slumpvis ordning. Mitt personnummer finns i pi. Ditt personnummer. Och inte bara det. De förekommer oändligt många gånger. Bland de första tvåhundra miljoner decimalerna av pi finns mitt födelsedatum 19730719 med 3 gånger. Första gången på plats 126 629 623.

Översatt till text finns varje bok som någonsin skrivits också i talet pi. Och varje bok baklänges. Och varje bok som någonsin kommer att skrivas. Dessutom finns alla dessa – just det – ett oändligt antal gånger. Det ger en liten pust av vad oändligheten är.

Och samma sak gäller för$latex \sqrt{2}&s=1$  och alla andra irrationella tal. Det kliar både obehagligt och fascinerande för en naturvetenskapligt lagd hjärna som länge trodde att allt gick att beskriva enkelt med siffror.

Jag har själv hittat på formler för att beräkna pi och jag kan inte bestämma mig för vilket som är konstigast. Om det visat sig att formeln lett till något enkelt, som att pi i själva verket är exakt 3 och några tusen år av matematisk forskning hittills haft fel. Eller som nu, där samma konstiga oändliga sekvens av siffror vecklade upp sig inför mina ögon: 3,14159265358979…

Har vi fel matematiska system? Eller inte fel förstås, men ligger det och lurar ett enklare system, ett med bara rationella tal, så att pi och $latex \sqrt{2}&s=1$ kan beskrivas enkelt. Ett talsystem med basen pi?

Det finns andra matematiska system. Vi kommer att uppfinna ett annat, enklare system. Kanske imorgon. Kanske om 1000 år, om vi fortfarande finns då. Kanske kan det beskriva pi och $latex \sqrt{2}&s=1$ på ett enklare sätt.

/David Armini

The Little Bird of Svithjod
High up in the north, in the land called Svithjod, there stands a rock. It is a hundred miles high and a hundred miles wide. Once every thousand years a little bird comes to this rock to sharpen its beak.  When the rock has thus been worn away, then a single day of eternity will have gone by.
The Story of Mankind av Hendrik Willem Van Loon

Vi är många som fascineras av vad oändligheten är. Känslan för mig är hisnande. Som att stå vid havet under en storm. Nära en avgrund. Ett åskoväder. Oändligheten trotsar på något sätt vårt försök att tygla naturen med lagar och formler, liksom vi inte kan kontrollera oväder, vulkaner, jordbävningar eller tsunamis.

Oändligheten och de irrationella talen, är två saker i matematiken som skrattar oss i ansiktet åt våra lama försöka att kunna skriva ned allting. Att hitta enkla förklaringar och samband.

Det finns en del sätt att få en känsla av hur stort oändligheten är. Eller snarare få en känsla av att vi inte förstår hur stort det är, ungefär som att stå där på stranden, mitt i stormen, och bara acceptera.

Talet pi består av en oändlig serie siffror i nästan slumpvis ordning. Mitt personnummer finns i pi. Ditt personnummer. Och inte bara det. De förekommer oändligt många gånger. Bland de första tvåhundra miljoner decimalerna av pi finns mitt födelsedatum 19730719 med 3 gånger. Första gången på plats 126 629 623. Här kan du kontrollera var ditt födelsedatum finns i pi.

Översatt till siffror finns varje bok som någonsin skrivits också i talet pi. Och varje bok baklänges. Och varje bok som någonsin kommer att skrivas. Dessutom finns alla dessa – just det – ett oändligt antal gånger. Det ger en liten pust av vad oändligheten är.

Inom matematiken pratar man om olika stora oändligheter. De minsta oändligheterna är de som som går att räkna upp. Exempelvis de naturliga talen: 1, 2, 3, 4, … Vi blir aldrig klara, men de går åtminstone att ordna. Decimalerna i pi är en annan uppräkningsbar oändlighet. Nästa och större oändlighet, är exempelvis de reella talen. Det finns ”fler” reella tal mellan 0 och 1 än det finns naturliga tal. Det går inte ens att hitta det första talet att börja med. Säg att du har hittat det minsta talet som är större än noll, kalla det x. Ja men då har vi ju direkt ett som är mindre, nämligen hälften av x. Och x / 10, x / 3, x / 100, x / 100 000. Någonstans där suger det till i min mage, jag känner liksom ett vinddrag av hur jäkla stort oändligheten faktiskt är.

Ungefär som när jag tänker på den 100 miles höga och långa muren som det kommer en fågel var tusende år och skärper näbben på.
When the rock has thus been worn away, then a single day of eternity will have gone by.