Vilka är de enklaste geometriska objekten?
Det är lockande att säga cirkel och sfär i två respektive tre dimensioner och det går kanske att argumentera för dem. Men exempelvis finns inget endimensionellt som korresponderar någorlunda naturligt.
Ett förslag är i stället följande att utgå från en punkt. I geometriskt hänseende borde det vara enklast möjliga. (Vilket alltid kan ifrågasättas – vad är ”enkelt”, vad är ”geometriskt hänseende”, etc, etc, men släpp det än så länge.)
Gör sedan enligt följande:
- Starten är noll dimensioner och en punkt.
- Sedan lägger vi till en punkt i taget.
- Samtidigt som vi lägger till en punkt ökar vi antalet dimensioner med ett steg.
- Punkten vi lägger till ska ha samma avstånd till alla tidigare punkter. (Igen… vad är avstånd, etc, men om vi antar att det är väldefinierat, etc, etc.)
Vad händer då?
I en dimension så har vi förstås två punkter och en linje mellan dem.
I 2 dimensioner händer lite mer – följ ovanstående så blir det en liksidig triangel: Tre lika långa sidor mellan tre punkter. Och om man vill ett plan (ytan som omsluts av linjerna).
I 3 dimensioner så ska vi enligt ovan lägga till en punkt till och placera den på samma avstånd från de tre punkterna vi hade i två dimensioner. Vi får förstås en liksidig pyramid som består av fyra punkter, 6 lika långa linjer och 4 likadana, liksidiga trianglar.
Det blir ganska snajsigt:
| Dimensioner | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Punkter | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Linjer | – | 1 | 3 | 6 |
| Trianglar | – | – | 1 | 4 |
Efter lite grunnande går det att generalisera:
| Dimensioner | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Punkter | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Linjer | – | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 |
| Trianglar | – | – | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 |
| Pyramider | – | – | – | 1 | 5 | 15 | 35 | 70 |
| ”4dkropp” | – | – | – | – | 1 | 6 | 21 | 56 |
| ”5dkropp” | – | – | – | – | – | 1 | 7 | 28 |
| ”6dkropp” | – | – | – | – | – | – | 1 | 8 |
| ”7dkropp” | – | – | – | – | – | – | – | 1 |
Den ”enklaste” kroppen i 4d begränsas alltså av 5 punkter, 10 linjer, 10 trianglar och 5 pyramider.
Det här är ju klurigt i sig att fundera på. Men det är ingeting vad som händer om man försöker ge sig på ett liknande resonemang med där 2d-objektet är en kvadrat och 3d-objektet en kub.
Det finns ingen tes eller slutsats i detta. Eller möjligen om det finns aspekter i matematik, matematikforskning och matematikundervisning som skulle bli enklare om vi utgick från trianglar istf kvadrater…?
Vi pratar bokstavligen om att tänka ”fyrkantigt”. Kanske skulle det finnas pedagogiska vinster med att släppa kvadraterna…?
….och så kan det läggas till att det här givetvis inte några som helst nyheter. Trianglarna och pyramiderna kallas euklidiska simplex. Punkt är en 0-simplex, linje en 1-simplex, triangel en 2-simplex, samt pyramid är en 3-simplex.
/David Armini