Paradigmskiftet från att överleva till att leva

När eftervärlden analyserar vår tid kommer man att prata om paradigmskiftet som skedde under slutet av 1900-talet och början av 2000-talet. Efterkrigsgenerationen var den sista svenska som kunde arbeta sig till en väsentligt bättre tillvaro – de som föddes på 1940- eller 1950-talen och arbetade hårt, kunde skörda en fantastiskt ökad levnadsstandard. TV, bil, tvättmaskin, charterresor, allmän sjukvård, allmän skola. En generation tog alla stegen framåt – generationerna innan fick fortfarande kämpa för sin överlevnad och generationerna efter har bara finputsat. Resan går till Borneo i stället för Mallorca. Bilen har blivit bilarna. TVn har blivit TV, Playstation, Wii och smartphone (helst senaste) till alla i familjen. Men i stort set har det inte hänt så mycket på 50 år.

…utom att du inte längre behöver arbeta hårt för att ha en riktigt bra levnadsstandard.
Till skillnad från mina föräldrars generation behöver jag inte ha särskilt bra lön för att ha råd med bil, TV, charterresa och tvättmaskin. I Sverige 2015 är det närmaste en rättighet.

Visst mår man bättre om man har det bättre ställt. Ingen mår bra av att behöva oroa sig för att gå i smutsiga kläder eller att inte kunna äta ett näringsriktigt mål mat tre gånger om dagen. Men mer pengar innebär inte automatiskt högre livskvalitet. Gränsen lär gå någonstans mellan 30 och 40 000 kr i dagens pengar räknat – runt en sådan inkomst är det högst sannolikhet att du är lycklig.

Jag ser att mina egna barn knappt önskar sig något materiellt längre. ”förstås” vill man ha, närmast räknar med, en uppdaterad smartphone och att hushållet skall ha Playstation, Wii, bil, tvättmaskin, diskmaskin. Visst lever undertecknad i en privilegierad medelklass i ett privilegierat hörn av världen, men det är en stor och växande medelklass och åtminstone min avkomma har svårt att komma på vad de önskar sig i julklapp eller födelsedagspresent.

I dåliga stunder tror jag vi är på väg mot en postindustriell kollaps av samhället och dess funktioner:
Ingen kommer att vilja arbeta för ett bättre liv åt sig och sina medmänniskor, ingen kommer att bry sig om något annat än den egna tillfredsställelsen för dagen.

I andra stunder tror jag i stället att vi står inför en av de viktigaste milstolparna i människans historia:
Idag, här och nu i Sverige, kan i stort sett hela befolkningen ha alla grundläggande behov och mer därtill uppfyllda. Materiellt sett kan en hel nation ha allt de behöver materiellt, i form av utbildning, tak över huvudet, vård och mat för dagen. Allt finns på plats för att ta nästa steg i utvecklingen.
En enda sak återstår att lösa för medelsvensson.

Hur blir jag lycklig?

/David Armini

Den relativa felaktigheten av kunskap

Jorden är platt.
Det finns drakar.
Solen snurrar runt jorden.
Atomer är odelbara.
Man blir frisk av att åderlåtning.

Universum är 13,7 miljarder år gammalt.
Kvarkar, bosoner, elektroner, m.fl. är de minsta och odelbara partiklarna.
Vi kan bota en massa sjukdomar med olika piller.

Vetenskapen och kunnandet verkar – i ett långt perspektiv – oftare ha fel än den har rätt. Vi kan nästan räkna med att mycket av det vi tar för givet idag, kommer att ses som vidskepelse och absurditeter i framtiden. Åtminstone har det varit på det sättet genom hela mänsklighetens historia. Varje ny generation har gjort framsteg och insikter som fått tidigare kunnande och vetenskap att framstå som nästan naiva fantasier.

Är då hela kunskapsbygget med vetenskap, undervisning och utbildning meningslöst? Varför skall vi forska fram resultat och sedan lära ut dem, när vi nästan med säkerhet kommer att kunna motbevisa dem en dag i framtiden?

Samtidigt har vi haft nytta av många av kunskaperna – fast de visat sig felaktiga. Det gick att navigera för tusentals år sedan. Vi kan flyga idag, ända till månen om vi så vill. Vi kan bygga datorer och verkar kunna bota ganska många sjukdomar. Skall vi förkasta den kunskapen för att det finns en risk att framtiden kommer att skratta åt vår naivitet och vidskepelse?

Kanske ligger missuppfattningen i att tänka på kunskap som absolut, det vill säga att det skulle finnas kunskap som håller – oavsett sammanhang. Begrepp som kunskap, sant, falskt, vetenskap – de kanske bara kan existera i ett sammanhang.

Tid, avstånd och hastighet går inte att isolera från varandra – man måste ta hänsyn till vilken hastighet du rör dig med, för att det skall vara relevant att prata om tid. Så kanske det är även med kunskap. Det är bara om du tar hänsyn till vilken omgivning du befinner dig i som det är relevant att tala om ett påstående som sant eller falskt. Utan hänsyn taget till kontexten är det meningslöst att tala om sanningshalten i kunskap.

Därför kan det kontradiktoriska påståenden vara sanna – beroende på vilket sammanhang du befinner dig i. Under medeltiden var åderlåtning ett bra sätt att bota sjukdomar, drakar fanns, jorden var platt och solen snurrade runt jorden. Det paradigm som människor befann sig i då, gjorde den kunskapen bra och relevant. Eller åtminstone innebar harmlöst felaktiga uppfattningar.
Visst kan man hävda att exempelvis åderlåtningen var så farligt att folk faktiskt dog till följd den, men kanske var det tillräckligt många som blev friska med placebo.

För missta dig inte. Placebo är förmodligen den sammantaget starkaste medicin vi fortfarande har och åtminstone undertecknad hyser inget tvivel om att vi i framtiden kommer att fnysa åt den medicinska vetenskapen runt millennieskiftet. Samtidigt som det i dag, här och nu, är fantastiskt vilka framsteg som gjorts vad gäller att bota infektioner och många andra sjukdomar.

Medicinsk vetenskap anno 2016 är bra och hjälper många. Men den är inte sann – mycket handlar om chansningar och tro. Bara det att en färgad tablett kan väntas ha starkare läkande kraft på en patient, jämfört med en vit tablett – säger inte det allt om hur primitiv vår inställning till medicin och annan vetenskap och kunskap är?

/David Armini

 

Nomad Foods – Findus gröna ärtor på New York-börsen.

Findus Gröna Ärter handlas på New York-börsen. Liksom fiskpinnarna och majonäsen. Dagens middag skapar en liten, liten kursuppgång på på NYSE och några tusendels öre extra i fickan på en entreprenör ett par kontinenter från både dig, din middagstallrik och fältet där ärtorna växte.Svenska_ärter_Jpg300p

Motbjudande? Kapitalismens höjdpunkt? Eller skitdesamma, bara jag får bra mat som är billig, billig, billig.

Jag kan inte sätta fingret exakt på vad, men intuitivt känns det fel att min middag handlas på en börs på andra sidan jorden. Särskilt när maten jag äter vuxit på ett fält några mil från där jag bor. Samtidigt förstår jag att skall vi mata bortåt 10 miljarder människor, så måste mycket av maten produceras storskaligt och rationellt. Vi kommer inte att kunna föda världsbefolkningen med rödbetor odlade av hippie-kollektiv – stora och effektiva företag behövs för produktion och distribution. Och skall det finnas någon som vill ta på sig det uppdraget behöver de bli belönade för sitt arbete.

Men ändå. Det cyniska i systemet blir lite för uppenbart så här. Några höjdpunkter:

  • Nomad Foods bildades i april 2014 på Brittiska Jungfruöarna.
  • Största ägarna var i juli 2016 hedgefonderna Pershing Square Capital Management och Third Point LLC, investmentbolagen Wellington Management Company, Corvex Management LP och Blackrock Advisords LLC, samt riskkapitalbolaget Permira Advisers LLP.
  • I november 2015 såldes Findus till Nomad Food för ungefär 6,7 miljarder kronor.
  • Här kan noteras att Findus då ägdes av riskkapitalbolagen Highbridge Principal Strategies, Lion Capital, JP Morgan Chase samt Sankaty Advisors. Findus gick från händerna av en grupp riskkapitalister till en annan.
  • I mars 2016 meddelades att fabriken i Bjuv skulle läggas ned. Med Nomad Foods egna ord:
    The consolidation of operations is expected to create a more efficient supply chain.Källa.
    The indemnification asset recognized relating to the acquisition of the Findus group is secured by shares held in escrow, so that the value of the assets are restricted to the value of these shares as at the balance sheet date. As at March 31, 2016, 6,964,417 shares were held in escrow for use against the associated liabilities and were valued at $9.01 (€7.88) each.Källa. (Nej, jag förstår inte detta. Jag har läst det minst 50 gånger men förstår det ändå inte. Och det är säkert rätt och kanske till och med bra. Men jag blir liksom inte så sugen på ärter till middag.)

Findus har rötterna i den skånska myllan enligt Findus sida på Facebook. Inte för att påståendet är direkt felaktig, men vore det inte mer relevant och med verkligheten överensstämmande att nämna att Findus ägs av ett företag på Brittiska Jungfruöarna som i sin tur ägs av hedgefonder och investmentbolag. Personerna som driver detta mångmiljardmaskineri har – gissningsvis – aldrig ätit Findus ärter, har aldrig satt sin fot i Sverige, vet inte vad skånsk mylla är och har en enda motivator bakom sitt engagemang: Pengar, mycket pengar och ännu mer pengar.

Jag kan inte låta bli att notera en sak. ”Nomad” – är det inte en freudiansk felsägning?
”No mad” är ju på skandinaviska lätt att förstå som ”inte mat”…

/David Armini

Uppfinnare vs entreprenör

Oppfinnar-Jockes kluriga magasin – jag minns fortfarande det första kryptot jag löste. Jag älskade serietidningar, och under en period var denna tidning den jag älskade allra mest. Det var roligt att lösa problem, jag kände mig smart och så kittlade tanken om att faktiskt uppfinna saker. Även om det var lite buskis över många av Jockes ”uppfinningar”.

oj

Tonåren och 20-årsåldern präglades av många idéer – framför allt nosade jag på att utveckla olika datorprogram, men jag funderade även på annat, som stabila notställ eller brädspel. För mig fanns det alltid med kittlande idé om att bli rik på en genial uppfinning: Till en början var den kopplingen automatisk – en tillräckligt bra innovation skulle automatiskt göra uppfinnaren rik.

Därefter har jag sett det som ungdomlig naivitet. Att jag kunde vara så blåögd att tro att bara för något var bra så blir det framgångsrikt. Haha-ha, så lustigt. Det behövs Powerpoints, affärsplaner, businesscoacher, entreprenörskapital, investeringsrådgivning, säljpitcher, key selling points, first mover advantage, unikitet, marknadsbearbetning, affärsänglar, och f-n och hans m-ster. Tro mig, jag har varit där. Det handlar väldigt lite om att göra något bra, och väldigt mycket om att övertyga om att man gör något bra. Rätt kontakter och rätt ord är långt viktigare än en bra uppfinning.

Långt senare har jag börjat fundera på det igen. Var den verkligen så naiv? Den där tanken om att en riktigt bra sak blir populär – inte för marknadsföringen, affärsplanerna, den snygga lanseringen, eller för att rätt personer sitter i styrelsen. Utan för att den helt enkelt är bra.

Jag är ledsen, för det är som att svära i kyrkan, men jag tror på mer överstatlighet för att driva innovationen framåt. Troligen har vi passerat kapitalismens höjdpunkt, eller befinner oss åtminstone i en närhet av den. Marknadsekonomi och kapitalism har under några decennier drivit teknisk utveckling framåt i hög fart: Bilar, flygplan, datorer och smarta telefoner. Allt så billigt att nästan varje person i ett land som Sverige har råd med det.

Men nu kommer vi att tappa fart. ”Kapitalet” och ”marknaden”. Det är idag konservativa krafter som kan hämma utveckling i stället för att driva på den. Big Oil, Big Tobacco, Big Pharma. Big IT. Big Food. Big Banking. Gigantiska koncerner som blir allt stelare och trögare. Siktet är nästa kvartal – omsättning och vinst. Omsättning och vinst. Allt hänförs till omsättning och vinst.

Är det meningen med livet? Så stor omsättning och så stor vinst som möjligt till de stora företagen och dess ägare? Apple har inget intresse av att göra så bra telefoner och datorer som möjligt till oss konsumenter. Liksom Nomad Foods mål inte är ge dig de bästa gröna ärtorna. (Nomad Foods äger sedan några månader tillbaka Findus. Därmed är ärtorna på New York-börsen.) Apple, Nomad och alla andra stora företag tillverkar varor och tjänster på ett sätt som genererar maximal intäkt till minimal utgift – det är lätt att säga att konkurrens tvingar företagen att göra de bästa produkterna för konsumenterna, men det är fel. Företagen tillverkar det som är bäst på att generera en hög vinst till dem och deras ägare. Det är drivkraften i hela vårt ekonomiska system.

Den kraften har varit bra för att driva fram fantastiska uppfinningar, men den närmar sig ett lokal maximum. All utveckling behöver förnyelse – att tro att en modell kan driva en evig positiv förbättring är bara naivt. Om ens det. Heliga kor och svära i kyrkan, men det som nu behövs är något som driver samhälle och utveckling med andra krafter än vinst till företag och dess ägare. Krafter som uppmuntrar nya idéer och uppfinningar utan att ställa omedelbara krav på omsättning och vinstmaximering.

Siktet behöver vara ”bra, nyttigt, roligt, viktigt” – inte ”lönsamt”.

Nej, Oppfinnar-Jockes kluriga magasin känns hopplöst daterad. Som världen ser ut i dag, vore det mer tidsenligt med serietidningen ”von Ankas tips&råd för den lille entreprenören”.

/David Armini

Minus minus

Bland det mest grundläggande inom matematik som ofta upplevs som svårgripbart är varför ”minus minus blir plus”. Följande förklaring med att ta över (plus) eller bli av med (minus), sparkonton (plus) eller lån (minus) har jag använt för att illustrera det på ett förhoppningsvis intuitivt sätt.

Siffrorna som används är förstås godtyckliga och används bara för att göra det mer gripart och konkret.

Plus plus blir plus
(+2) * (+3)
Tar över två sparkonton med 3 kr på varje = + 6

Plus minus blir minus
(+2) * (-3)
Tar över två lånekonton med 3 kr i skuld på varje = – 6

Minus plus blir minus
(-2) * (+3)
Blir av med två sparkonton med 3 kr på varje = – 6

Och så själva cloun
Minus minus blir plus
(-2) * (-3)
Blir av med två lånekonton med 3 kr i skuld på varje = + 6

Sedan blir det ännu lite mer abstrakt när det exempelvis står -(-5). Varför skulle ”minus, minus fem” bli plus fem?

Tänk på samma sätt, när du börjar så har du en skuld om 5 kr. Alltså minus 5. Sedan tar du bort (minus) denna skuld. ”Minus minus 5”, skulle alltså betyda att bli av med en skuld på 5 kronor. Nettoeffekten blir alltså att ditt nettokapital har öka med fem kronor.

Ta ett exempel till.
Tänk att du har hundra kronor och så är du skyldig Bettan 5 kronor. Netto äger du då 95 kronor (tillgångar minus skulder).
Bettan säger nu i ett anfall av generositet att hon efterskänker skulden. Din förmögenhet blir då:

95 kr – (-5 kr) = 95 kr + 5 kr = 100 kr

Jag hoppas att någon fått lättare att få en intuitiv känsla för vad minus minus betyder!

/David Armini

Svarta svanar och Big Data

Det har rapporterats om kontroversiella och fantastiska resultat med Big Data-analyser. Som att kvinnor som byter från parfymerad till oparfymerad hudkräm några månader senare får blöjreklam. Praktiskt eller kränkande – som sagt, välj själv. De etiska ställningstagandena till hur mycket information vi egentligen vill lämna ifrån om oss är en diskussion för sig men Big Data lider även av andra problem.

Big Data är stora kvantiteter information som sparas och processas maskinellt.  Facebook, Twitter, Google, Apple och många andra av de företag som exploderat i storlek på bara några år arbetar just med Big Data och konsumenter. De exploaterar maskinellt upptäckta samband och tjänar ofattbara summor pengar på att rikta reklam och erbjudanden anpassade till just dig.

Man kan förstå det med exempelvis Ica-kortet:
All information om vad du handlar och frivilligt väljer att registrera genom att dra Ica-kortet sparas. Inte bara artiklarna, utan även datum och klockslag, hur länge du var inne i butiken, vädret utanför, när du är född och tusentals andra variabler. Använder du dessutom en scanner inne i butiken kommer den även att registrera i vilken ordning du köper varorna, hur länge du pausar vid en hylla (som för att välja mellan olika varor), om du ångrar dig och avscannar någonting.
Mängden data som samlas in om dig är alldeles för stor för att en människa skulle klara att processa information. Förmodligen skulle en hel vetenskap kunna byggas upp kring bara en enda persons köpbeteende. I stället får automatiserade algoritmer leta mönster. Datorn behöver inte förstå mönstren, den skall bara hitta dem. Allt förstås för att jag som konsument skall ”få en bättre köpupplevelse”, det vill säga handla mer och ”hitta till varor som intresserar mig”, det vill säga handla mer.

Utöver etiken – vad är då problemet? Ta självkörande bilar som exempel. Google-bilen, Volvos och Teslas självkörande bilar – samtliga bygger de enkelt uttryckt på principen att de får köra väldigt många mil och samla in väldigt stora datamängder. Tanken är att algoritmerna varit med om varje möjlig situation och lärt sig hur de skall hanteras.
Men det är ju inte sant. Bilarna kommer att utsättas för svarta svanar, det vill säga situationer som inte kunnat förutsägas. Som att ett flygplan störtar på vägen. Eller att en igelkott och en katt springer ut samtidigt på vägbanan. Eller något av tiotusentals miljoners miljarder andra möjligheter som kanske bara inträffar en endaste gång i världshistorien.
En människa är fenomenal på att improvisera, att hitta en lösning på ett problem som hen inte varit med om tidigare, medan datorer är usla på det.
Nu är jag den förste som är anhängare av självkörande bilar: Datorer är långt bättre bilförare än människor. Däremot måste vi förstå begränsningarna. Datorer är (nästan) ofelbara om vi ger dem rätt instruktioner, men det kommer vi inte att göra, så därför kommer det att ske olyckor även med självkörande bilar. De kommer att bli färre, men vi skall vara medvetna om att de kommer att ske.

Ett annat exempel är när du söker på Google eller en annan sökmotor. De flesta söksträngar genererar alltför många träffar för sökaren skall titta igenom alla. I de flesta fall stannar hen på den första sidan av sökresultat (åtminstone gör undertecknad det). Sökmotorn arbetar med statistik och mest sannolikt letar du ju efter det som de flesta andra som sökt med liknande sökfras letat efter.
Men därmed blir sökmotorn en förstärkare av redan starka varumärken – desto fler någon söker på ”gympaskor”, får upp Nike och klickar på Nike, desto mer övertygade blir algoritmerna om att det är just Nike du vill ha om du söker på den frasen.

Big Data förmår inte heller att hantera svarta svanar. Det är bra att lära sig av sina misstag och att använda historisk statistik för att förutsäga extremt väder, jordbävning, för att köra bilar, larma om personer som är på väg in i spelmissbruk och med lite större tvekan att upptäcka och kartlägga köpbeteenden hos konsumenter eller avgöra försäkringspremier och återbetalningsförmåga av banklån.

Däremot är det ett misstag att tro att Big Data kommer att klara allt. Algoritmerna kommer inte att kunna förutsäga allt som kan hända under en bilfärd – människor kommer att dö för att den sjävkörande bilar kommer att hamna i situationer som inte gick att förutsäga. Likadant kommer Big Data-baserade beslut att dra felaktiga slutsater om vem som kan att betala av ett lån, vem som hamnar i spelmissbruk, vem som är intresserad av blöjreklam eller vem som är intresserad att läsa den här notisen..

/David Armini

Svarta svanar, i fågelskådning och filosofi

…rara avis in terris nigroque simillima cygno

Poeten Juvenals dikt är det tidigast kända onämnadet av svarta svanar som fritt översatt blir ”…en svart svan en sällsynt fågel i världen”. Juvenal levde i Rom omkring 100 år efter Kristi födelse och frasen syftade på hur känsligt ett system av slutsatser kan vara. Vid tidpunkten kände man inte till att svarta svanar existerade – slutsatsen var att alla svanar är vita, men att observation av en enda svart svan skulle falsifiera det.

Under 1500-talet i London skall uttrycket ha varit vanligt för att uttrycka att något är omöjligt – alla noteringar i den då kända världen var ju av vita svanar. Om inte en svart svan var omöjlig, så existerade åtminstone inga sådana. Men 1697 blev holländska upptäcksresande i västra Australien de första européer som såg svarta svanar. Uttrycket ”svarta svanar” kom att i stället för att beteckna något otänkbart, att symbolisera att något som uppfattas som omöjligt, senare kan visa sig vara möjligt.

File:Black Swan at Martin Mere.JPG

Foto: © Francis C. Franklin

Libanesisk-amerikanska debattören, statistikern, tradern och riskanalytikern Nassim Nicholas Taleb utkom 2007 med boken The Black Swan: The impact of the Highly Improbable. Enkelt uttryckt menar Taleb att vi inte kan förutsäga allt, men att vi tror oss kunna göra det. Exempel är kärnkraftskatastrofen i Fukushima eller orkanen Katrina. Och enligt Taleb själv uppkomsten av PCn, första världskriget, 11 september-attacken, Internet och snart sagt varje större historisk händelse, konstnärlig milstolpe och vetenskaplig upptäckt. Eller varför inte elden och hjulet.

Ta Fukushima och Katrina som exempel: Ingenjörer, politiker och samhällsbyggare planerar minutiöst. Man är väl medveten om riskerna för jordbävning, orkaner och tsunamis och bygger säkerhetsåtgärder som skall göra både städer och kärnkraftverk säkra. Men så kommer en jordbävning eller orkan som är lite större än man räknade med, eller som beter sig på ett lite annat sätt och katastrofen är ett faktum. I efterhand talas det dessutom ofelbart om att katastrofen hade gått att förutsäga – det handlade bara om individuella misstag. Hade alla gjort sitt jobb korrekt så hade inte New Orleans dränkts eller Fukushima smält.

Taleb listar tre faktorer för en svart svan:

  1. Händelsen är en överraskning (för observatören – notera att slakten är en svart svan för kalkonen, men inte för slaktaren)
  2. Händelsen har en stor påverkan
  3. Efter att en viss svart svan inträffat rationaliserar samhället, vetenskapen, individen eller marknaden händelsen och menar att händelsen borde ha förutsetts

Vi vet helt enkelt inte hur stora jordbävningar, orkaner eller tsunamis som kan inträffa. Eller om utomjordingar dyker upp i ett maskhål och anfaller oss. Eller om en jättelik meteor slår ned. Eller om Jimmie Åkesson blir vår nästa stadsminister. Liksom vi inte kan veta vad nästa riktigt stora teknologiska eller filosofiska landvinning kommer att bli.
Vi kan inte veta det. Vi kommer aldrig att veta det. Ändå kommer vi i efterhand att mena att det var logiskt – vi borde ha förutsett att Portugal vann EM, att Trump skulle bli Republikanernas presidentkandidat och att sommarvädret skulle bli soligt och varmt, och kallt och regnigt.
Allra tydligast är det inom ekonomin. Gång på gång inträffar oväntade svängningar som ekonomer i efterhand berättar varför det var logiskt att det hände.

Taleb menar att målsättningen inte skall vara att förutsäga svarta svanar utan i stället bygga strukturer som är robusta mot negativa svarta svanar och som är flexibla att utnyttja positiva.
Dessutom skall vi utveckla strategier för att ”avoid being the turkey … to turn the Black Swans white” med Talebs egna ord.

/David Armini

 

Varför finns det irrationella tal?

Och varför vill åtminstone en del av oss bestämma dem så exakt som möjligt?

De irrationella talen irriterar och skaver. Det är tal som inte kan skrivas ut exakt med vårt siffersystem. Och det är inte några konstiga konstanter som används i knepiga modeller för att beskriva rumtiden eller något annat abstrakt. Lösningen till ekvationen {x}^{2}=2 kan inte beskrivas med ett rationellt tal, utan är \sqrt{2} vilket ungefär är 1,4142… och så en oändlig sekvens av nästan slumpmässiga siffror.

Likadant diagonalen i en kvadrat med sidan 1. Också här är svaret \sqrt{2} . Eller en cirkel med diametern 1 som har omkretsen pi. Detta förbannade jäkla underbara tal pi.

Talet pi består av en oändlig serie siffror i nästan slumpvis ordning. Mitt personnummer finns i pi. Ditt personnummer. Och inte bara det. De förekommer oändligt många gånger. Bland de första tvåhundra miljoner decimalerna av pi finns mitt födelsedatum 19730719 med 3 gånger. Första gången på plats 126 629 623.

Översatt till text finns varje bok som någonsin skrivits också i talet pi. Och varje bok baklänges. Och varje bok som någonsin kommer att skrivas. Dessutom finns alla dessa – just det – ett oändligt antal gånger. Det ger en liten pust av vad oändligheten är.

Och samma sak gäller för\sqrt{2}  och alla andra irrationella tal. Det kliar både obehagligt och fascinerande för en naturvetenskapligt lagd hjärna som länge trodde att allt gick att beskriva enkelt med siffror.

Jag har själv hittat på formler för att beräkna pi och jag kan inte bestämma mig för vilket som är konstigast. Om det visat sig att formeln lett till något enkelt, som att pi i själva verket är exakt 3 och några tusen år av matematisk forskning hittills haft fel. Eller som nu, där samma konstiga oändliga sekvens av siffror vecklade upp sig inför mina ögon: 3,14159265358979…

Har vi fel matematiska system? Eller inte fel förstås, men ligger det och lurar ett enklare system, ett med bara rationella tal, så att pi och \sqrt{2} kan beskrivas enkelt. Ett talsystem med basen pi?

Det finns andra matematiska system. Vi kommer att uppfinna ett annat, enklare system. Kanske imorgon. Kanske om 1000 år, om vi fortfarande finns då. Kanske kan det beskriva pi och \sqrt{2} på ett enklare sätt.

/David Armini

Rekursiv formel för beräkning av pi

Kanske får det vara mitt amatörbidrag till matematiken. Troligare finns formeln redan, eller andra, smartare och elegantare varianter. Var så god och sök på webben 🙂

Formeln bygger på iakttagelsen att en regelbunden månghörning som är inskriven i en cirkel med radien 1, har en omkrets som närmar sig pi när antalet hörn blir större.

Idén är att börja med en kvadrat inskriven i cirkeln. Den har omkretsen 2\sqrt{2} . Dubbla sedan antalet hörn till 8. Dess sida kan relativt enkelt beräknas med hjälp av kvadraten. Nästa steg är en 16-hörning, vars sida kan beräknas med åttahörningen. Etc.

Alltså:
Antag att vi har en cirkel med radie 1.
I cirkeln skriver vi in en regelbunden månghörning med 2^{n} hörn, där n>1.
Antag vidare att vi känner till hur lång sidan är på denna månghörning.
Kan vi då beräkna sidan på månghörningen med 2^{n+1} hörn?

Låt oss dela upp den första månghörningen (den med 2^{n} hörn) i likbenta trianglar med toppen i cirkelns mitt. Varje triangel ser då ut något i stil med nedanstående figur. Dela även upp den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar:

tri6

Vi antar som sagt att för rektangeln med 2^{n} hörn så har vi räknat ut sidan C. Omkretsen på denna månghörning kommer då att vara {C_{n}}*2^{n} Omkretsen av cirkeln med radien 1 är enligt skolboken 2 * \pi . När antalet hörn ökar kommer alltså {C_{n}}*2^{n - 1} att bli en bättre och bättre approximation av pi.

Låt nästa steg vara en månghörning med dubbelt så många hörn, 2^{n+1}. Dela även upp denna månghörning i likbenta trianglar med topp i cirkelns mitt, och dela upp den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar:

tri8

Observera nu att de blåmarkerade trianglarna är kongruenta. Med den iakttagelsen går det att hitta ett samband mellan {C_{n}} och {C_{n+1}}. Med lite räknande får man sambandet:

{C_{n+1}} = \sqrt{2 - \sqrt{4-C_{n}^2}}

Enkelt uttryckt innebär det att vi har ett samband mellan sidan på en månghörning och sidan på en månghörning med dubbet så många hörn.

Givet att en regelbunden månghörning inskriven i en cirkel med radien 1 har sidan {C_{n}}, så vet vi nu att månghörningen med dubbelt så många hörn har omkretsen:

2^{{n}+1}{C_{n+1}} =2^{{n}+1}\sqrt{2 - \sqrt{4-C_{n}^2}}

Efter lite mer räkningar kan vi nu ta fram en rekursiv formel för successiv beräkning av pi:

\pi_{{n}+1}=2^{({n}+1)/2}\sqrt{2^{n}-\sqrt{4^{n}-\pi_{n}^2}}

Startvärdet är en kvadrat inskriven i cirkeln, dvs {n}=2:

\pi_{1}=2\sqrt{2}

Utvecklingen går någorlunda snabbt. Approximation för pi blir:

4-hörning: \pi\approx 2,8
8-hörning: \pi\approx 3,06
16-hörning: \pi\approx 3,12
32-hörning: \pi\approx 3,137
64-hörning: \pi\approx 3,140
128-hörning: \pi\approx 3,1413
256-hörning: \pi\approx 3,14151
512-hörning: \pi\approx 3,14157
1024-hörning: \pi\approx 3,141588
2048-hörning: \pi\approx 3,141591
4096-hörning: \pi\approx 3,1415923
8192-hörning: \pi\approx 3,1415925

/David Armini

 

Oändligheten

The Little Bird of Svithjod
High up in the north, in the land called Svithjod, there stands a rock. It is a hundred miles high and a hundred miles wide. Once every thousand years a little bird comes to this rock to sharpen its beak.  When the rock has thus been worn away, then a single day of eternity will have gone by.
The Story of Mankind av Hendrik Willem Van Loon

Vi är många som fascineras av vad oändligheten är. Känslan för mig är hisnande. Som att stå vid havet under en storm. Nära en avgrund. Ett åskoväder. Oändligheten trotsar på något sätt vårt försök att tygla naturen med lagar och formler, liksom vi inte kan kontrollera oväder, vulkaner, jordbävningar eller tsunamis.

Oändligheten och de irrationella talen, är två saker i matematiken som skrattar oss i ansiktet åt våra lama försöka att kunna skriva ned allting. Att hitta enkla förklaringar och samband.

Det finns en del sätt att få en känsla av hur stort oändligheten är. Eller snarare få en känsla av att vi inte förstår hur stort det är, ungefär som att stå där på stranden, mitt i stormen, och bara acceptera.

Talet pi består av en oändlig serie siffror i nästan slumpvis ordning. Mitt personnummer finns i pi. Ditt personnummer. Och inte bara det. De förekommer oändligt många gånger. Bland de första tvåhundra miljoner decimalerna av pi finns mitt födelsedatum 19730719 med 3 gånger. Första gången på plats 126 629 623. Här kan du kontrollera var ditt födelsedatum finns i pi.

Översatt till siffror finns varje bok som någonsin skrivits också i talet pi. Och varje bok baklänges. Och varje bok som någonsin kommer att skrivas. Dessutom finns alla dessa – just det – ett oändligt antal gånger. Det ger en liten pust av vad oändligheten är.

Inom matematiken pratar man om olika stora oändligheter. De minsta oändligheterna är de som som går att räkna upp. Exempelvis de naturliga talen: 1, 2, 3, 4, … Vi blir aldrig klara, men de går åtminstone att ordna. Decimalerna i pi är en annan uppräkningsbar oändlighet. Nästa och större oändlighet, är exempelvis de reella talen. Det finns ”fler” reella tal mellan 0 och 1 än det finns naturliga tal. Det går inte ens att hitta det första talet att börja med. Säg att du har hittat det minsta talet som är större än noll, kalla det x. Ja men då har vi ju direkt ett som är mindre, nämligen hälften av x. Och x / 10, x / 3, x / 100, x / 100 000. Någonstans där suger det till i min mage, jag känner liksom ett vinddrag av hur jäkla stort oändligheten faktiskt är.

Ungefär som när jag tänker på den 100 miles höga och långa muren som det kommer en fågel var tusende år och skärper näbben på.
When the rock has thus been worn away, then a single day of eternity will have gone by.