Minus minus

Bland det mest grundläggande inom matematik som ofta upplevs som svårgripbart är varför ”minus minus blir plus”. Följande förklaring med att ta över (plus) eller bli av med (minus), sparkonton (plus) eller lån (minus) har jag använt för att illustrera det på ett förhoppningsvis intuitivt sätt.

Siffrorna som används är förstås godtyckliga och används bara för att göra det mer gripart och konkret.

Plus plus blir plus
(+2) * (+3)
Tar över två sparkonton med 3 kr på varje = + 6

Plus minus blir minus
(+2) * (-3)
Tar över två lånekonton med 3 kr i skuld på varje = – 6

Minus plus blir minus
(-2) * (+3)
Blir av med två sparkonton med 3 kr på varje = – 6

Och så själva cloun
Minus minus blir plus
(-2) * (-3)
Blir av med två lånekonton med 3 kr i skuld på varje = + 6

Sedan blir det ännu lite mer abstrakt när det exempelvis står -(-5). Varför skulle ”minus, minus fem” bli plus fem?

Tänk på samma sätt, när du börjar så har du en skuld om 5 kr. Alltså minus 5. Sedan tar du bort (minus) denna skuld. ”Minus minus 5”, skulle alltså betyda att bli av med en skuld på 5 kronor. Nettoeffekten blir alltså att ditt nettokapital har öka med fem kronor.

Ta ett exempel till.
Tänk att du har hundra kronor och så är du skyldig Bettan 5 kronor. Netto äger du då 95 kronor (tillgångar minus skulder).
Bettan säger nu i ett anfall av generositet att hon efterskänker skulden. Din förmögenhet blir då:

95 kr – (-5 kr) = 95 kr + 5 kr = 100 kr

Jag hoppas att någon fått lättare att få en intuitiv känsla för vad minus minus betyder!

/David Armini

Svarta svanar och Big Data

Det har rapporterats om kontroversiella och fantastiska resultat med Big Data-analyser. Som att kvinnor som byter från parfymerad till oparfymerad hudkräm några månader senare får blöjreklam. Praktiskt eller kränkande – som sagt, välj själv. De etiska ställningstagandena till hur mycket information vi egentligen vill lämna ifrån om oss är en diskussion för sig men Big Data lider även av andra problem.

Big Data är stora kvantiteter information som sparas och processas maskinellt.  Facebook, Twitter, Google, Apple och många andra av de företag som exploderat i storlek på bara några år arbetar just med Big Data och konsumenter. De exploaterar maskinellt upptäckta samband och tjänar ofattbara summor pengar på att rikta reklam och erbjudanden anpassade till just dig.

Man kan förstå det med exempelvis Ica-kortet:
All information om vad du handlar och frivilligt väljer att registrera genom att dra Ica-kortet sparas. Inte bara artiklarna, utan även datum och klockslag, hur länge du var inne i butiken, vädret utanför, när du är född och tusentals andra variabler. Använder du dessutom en scanner inne i butiken kommer den även att registrera i vilken ordning du köper varorna, hur länge du pausar vid en hylla (som för att välja mellan olika varor), om du ångrar dig och avscannar någonting.
Mängden data som samlas in om dig är alldeles för stor för att en människa skulle klara att processa information. Förmodligen skulle en hel vetenskap kunna byggas upp kring bara en enda persons köpbeteende. I stället får automatiserade algoritmer leta mönster. Datorn behöver inte förstå mönstren, den skall bara hitta dem. Allt förstås för att jag som konsument skall ”få en bättre köpupplevelse”, det vill säga handla mer och ”hitta till varor som intresserar mig”, det vill säga handla mer.

Utöver etiken – vad är då problemet? Ta självkörande bilar som exempel. Google-bilen, Volvos och Teslas självkörande bilar – samtliga bygger de enkelt uttryckt på principen att de får köra väldigt många mil och samla in väldigt stora datamängder. Tanken är att algoritmerna varit med om varje möjlig situation och lärt sig hur de skall hanteras.
Men det är ju inte sant. Bilarna kommer att utsättas för svarta svanar, det vill säga situationer som inte kunnat förutsägas. Som att ett flygplan störtar på vägen. Eller att en igelkott och en katt springer ut samtidigt på vägbanan. Eller något av tiotusentals miljoners miljarder andra möjligheter som kanske bara inträffar en endaste gång i världshistorien.
En människa är fenomenal på att improvisera, att hitta en lösning på ett problem som hen inte varit med om tidigare, medan datorer är usla på det.
Nu är jag den förste som är anhängare av självkörande bilar: Datorer är långt bättre bilförare än människor. Däremot måste vi förstå begränsningarna. Datorer är (nästan) ofelbara om vi ger dem rätt instruktioner, men det kommer vi inte att göra, så därför kommer det att ske olyckor även med självkörande bilar. De kommer att bli färre, men vi skall vara medvetna om att de kommer att ske.

Ett annat exempel är när du söker på Google eller en annan sökmotor. De flesta söksträngar genererar alltför många träffar för sökaren skall titta igenom alla. I de flesta fall stannar hen på den första sidan av sökresultat (åtminstone gör undertecknad det). Sökmotorn arbetar med statistik och mest sannolikt letar du ju efter det som de flesta andra som sökt med liknande sökfras letat efter.
Men därmed blir sökmotorn en förstärkare av redan starka varumärken – desto fler någon söker på ”gympaskor”, får upp Nike och klickar på Nike, desto mer övertygade blir algoritmerna om att det är just Nike du vill ha om du söker på den frasen.

Big Data förmår inte heller att hantera svarta svanar. Det är bra att lära sig av sina misstag och att använda historisk statistik för att förutsäga extremt väder, jordbävning, för att köra bilar, larma om personer som är på väg in i spelmissbruk och med lite större tvekan att upptäcka och kartlägga köpbeteenden hos konsumenter eller avgöra försäkringspremier och återbetalningsförmåga av banklån.

Däremot är det ett misstag att tro att Big Data kommer att klara allt. Algoritmerna kommer inte att kunna förutsäga allt som kan hända under en bilfärd – människor kommer att dö för att den sjävkörande bilar kommer att hamna i situationer som inte gick att förutsäga. Likadant kommer Big Data-baserade beslut att dra felaktiga slutsater om vem som kan att betala av ett lån, vem som hamnar i spelmissbruk, vem som är intresserad av blöjreklam eller vem som är intresserad att läsa den här notisen..

/David Armini

Svarta svanar, i fågelskådning och filosofi

…rara avis in terris nigroque simillima cygno

Poeten Juvenals dikt är det tidigast kända onämnadet av svarta svanar som fritt översatt blir ”…en svart svan en sällsynt fågel i världen”. Juvenal levde i Rom omkring 100 år efter Kristi födelse och frasen syftade på hur känsligt ett system av slutsatser kan vara. Vid tidpunkten kände man inte till att svarta svanar existerade – slutsatsen var att alla svanar är vita, men att observation av en enda svart svan skulle falsifiera det.

Under 1500-talet i London skall uttrycket ha varit vanligt för att uttrycka att något är omöjligt – alla noteringar i den då kända världen var ju av vita svanar. Om inte en svart svan var omöjlig, så existerade åtminstone inga sådana. Men 1697 blev holländska upptäcksresande i västra Australien de första européer som såg svarta svanar. Uttrycket ”svarta svanar” kom att i stället för att beteckna något otänkbart, att symbolisera att något som uppfattas som omöjligt, senare kan visa sig vara möjligt.

File:Black Swan at Martin Mere.JPG

Foto: © Francis C. Franklin

Libanesisk-amerikanska debattören, statistikern, tradern och riskanalytikern Nassim Nicholas Taleb utkom 2007 med boken The Black Swan: The impact of the Highly Improbable. Enkelt uttryckt menar Taleb att vi inte kan förutsäga allt, men att vi tror oss kunna göra det. Exempel är kärnkraftskatastrofen i Fukushima eller orkanen Katrina. Och enligt Taleb själv uppkomsten av PCn, första världskriget, 11 september-attacken, Internet och snart sagt varje större historisk händelse, konstnärlig milstolpe och vetenskaplig upptäckt. Eller varför inte elden och hjulet.

Ta Fukushima och Katrina som exempel: Ingenjörer, politiker och samhällsbyggare planerar minutiöst. Man är väl medveten om riskerna för jordbävning, orkaner och tsunamis och bygger säkerhetsåtgärder som skall göra både städer och kärnkraftverk säkra. Men så kommer en jordbävning eller orkan som är lite större än man räknade med, eller som beter sig på ett lite annat sätt och katastrofen är ett faktum. I efterhand talas det dessutom ofelbart om att katastrofen hade gått att förutsäga – det handlade bara om individuella misstag. Hade alla gjort sitt jobb korrekt så hade inte New Orleans dränkts eller Fukushima smält.

Taleb listar tre faktorer för en svart svan:

  1. Händelsen är en överraskning (för observatören – notera att slakten är en svart svan för kalkonen, men inte för slaktaren)
  2. Händelsen har en stor påverkan
  3. Efter att en viss svart svan inträffat rationaliserar samhället, vetenskapen, individen eller marknaden händelsen och menar att händelsen borde ha förutsetts

Vi vet helt enkelt inte hur stora jordbävningar, orkaner eller tsunamis som kan inträffa. Eller om utomjordingar dyker upp i ett maskhål och anfaller oss. Eller om en jättelik meteor slår ned. Eller om Jimmie Åkesson blir vår nästa stadsminister. Liksom vi inte kan veta vad nästa riktigt stora teknologiska eller filosofiska landvinning kommer att bli.
Vi kan inte veta det. Vi kommer aldrig att veta det. Ändå kommer vi i efterhand att mena att det var logiskt – vi borde ha förutsett att Portugal vann EM, att Trump skulle bli Republikanernas presidentkandidat och att sommarvädret skulle bli soligt och varmt, och kallt och regnigt.
Allra tydligast är det inom ekonomin. Gång på gång inträffar oväntade svängningar som ekonomer i efterhand berättar varför det var logiskt att det hände.

Taleb menar att målsättningen inte skall vara att förutsäga svarta svanar utan i stället bygga strukturer som är robusta mot negativa svarta svanar och som är flexibla att utnyttja positiva.
Dessutom skall vi utveckla strategier för att ”avoid being the turkey … to turn the Black Swans white” med Talebs egna ord.

/David Armini

 

Varför finns det irrationella tal?

Och varför vill åtminstone en del av oss bestämma dem så exakt som möjligt?

De irrationella talen irriterar och skaver. Det är tal som inte kan skrivas ut exakt med vårt siffersystem. Och det är inte några konstiga konstanter som används i knepiga modeller för att beskriva rumtiden eller något annat abstrakt. Lösningen till ekvationen {x}^{2}=2 kan inte beskrivas med ett rationellt tal, utan är \sqrt{2} vilket ungefär är 1,4142… och så en oändlig sekvens av nästan slumpmässiga siffror.

Likadant diagonalen i en kvadrat med sidan 1. Också här är svaret \sqrt{2} . Eller en cirkel med diametern 1 som har omkretsen pi. Detta förbannade jäkla underbara tal pi.

Talet pi består av en oändlig serie siffror i nästan slumpvis ordning. Mitt personnummer finns i pi. Ditt personnummer. Och inte bara det. De förekommer oändligt många gånger. Bland de första tvåhundra miljoner decimalerna av pi finns mitt födelsedatum 19730719 med 3 gånger. Första gången på plats 126 629 623.

Översatt till text finns varje bok som någonsin skrivits också i talet pi. Och varje bok baklänges. Och varje bok som någonsin kommer att skrivas. Dessutom finns alla dessa – just det – ett oändligt antal gånger. Det ger en liten pust av vad oändligheten är.

Och samma sak gäller för\sqrt{2}  och alla andra irrationella tal. Det kliar både obehagligt och fascinerande för en naturvetenskapligt lagd hjärna som länge trodde att allt gick att beskriva enkelt med siffror.

Jag har själv hittat på formler för att beräkna pi och jag kan inte bestämma mig för vilket som är konstigast. Om det visat sig att formeln lett till något enkelt, som att pi i själva verket är exakt 3 och några tusen år av matematisk forskning hittills haft fel. Eller som nu, där samma konstiga oändliga sekvens av siffror vecklade upp sig inför mina ögon: 3,14159265358979…

Har vi fel matematiska system? Eller inte fel förstås, men ligger det och lurar ett enklare system, ett med bara rationella tal, så att pi och \sqrt{2} kan beskrivas enkelt. Ett talsystem med basen pi?

Det finns andra matematiska system. Vi kommer att uppfinna ett annat, enklare system. Kanske imorgon. Kanske om 1000 år, om vi fortfarande finns då. Kanske kan det beskriva pi och \sqrt{2} på ett enklare sätt.

/David Armini

Rekursiv formel för beräkning av pi

Kanske får det vara mitt amatörbidrag till matematiken. Troligare finns formeln redan, eller andra, smartare och elegantare varianter. Var så god och sök på webben 🙂

Formeln bygger på iakttagelsen att en regelbunden månghörning som är inskriven i en cirkel med radien 1, har en omkrets som närmar sig pi när antalet hörn blir större.

Idén är att börja med en kvadrat inskriven i cirkeln. Den har omkretsen 2\sqrt{2} . Dubbla sedan antalet hörn till 8. Dess sida kan relativt enkelt beräknas med hjälp av kvadraten. Nästa steg är en 16-hörning, vars sida kan beräknas med åttahörningen. Etc.

Alltså:
Antag att vi har en cirkel med radie 1.
I cirkeln skriver vi in en regelbunden månghörning med 2^{n} hörn, där n>1.
Antag vidare att vi känner till hur lång sidan är på denna månghörning.
Kan vi då beräkna sidan på månghörningen med 2^{n+1} hörn?

Låt oss dela upp den första månghörningen (den med 2^{n} hörn) i likbenta trianglar med toppen i cirkelns mitt. Varje triangel ser då ut något i stil med nedanstående figur. Dela även upp den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar:

tri6

Vi antar som sagt att för rektangeln med 2^{n} hörn så har vi räknat ut sidan C. Omkretsen på denna månghörning kommer då att vara {C_{n}}*2^{n} Omkretsen av cirkeln med radien 1 är enligt skolboken 2 * \pi . När antalet hörn ökar kommer alltså {C_{n}}*2^{n - 1} att bli en bättre och bättre approximation av pi.

Låt nästa steg vara en månghörning med dubbelt så många hörn, 2^{n+1}. Dela även upp denna månghörning i likbenta trianglar med topp i cirkelns mitt, och dela upp den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar:

tri8

Observera nu att de blåmarkerade trianglarna är kongruenta. Med den iakttagelsen går det att hitta ett samband mellan {C_{n}} och {C_{n+1}}. Med lite räknande får man sambandet:

{C_{n+1}} = \sqrt{2 - \sqrt{4-C_{n}^2}}

Enkelt uttryckt innebär det att vi har ett samband mellan sidan på en månghörning och sidan på en månghörning med dubbet så många hörn.

Givet att en regelbunden månghörning inskriven i en cirkel med radien 1 har sidan {C_{n}}, så vet vi nu att månghörningen med dubbelt så många hörn har omkretsen:

2^{{n}+1}{C_{n+1}} =2^{{n}+1}\sqrt{2 - \sqrt{4-C_{n}^2}}

Efter lite mer räkningar kan vi nu ta fram en rekursiv formel för successiv beräkning av pi:

\pi_{{n}+1}=2^{({n}+1)/2}\sqrt{2^{n}-\sqrt{4^{n}-\pi_{n}^2}}

Startvärdet är en kvadrat inskriven i cirkeln, dvs {n}=2:

\pi_{1}=2\sqrt{2}

Utvecklingen går någorlunda snabbt. Approximation för pi blir:

4-hörning: \pi\approx 2,8
8-hörning: \pi\approx 3,06
16-hörning: \pi\approx 3,12
32-hörning: \pi\approx 3,137
64-hörning: \pi\approx 3,140
128-hörning: \pi\approx 3,1413
256-hörning: \pi\approx 3,14151
512-hörning: \pi\approx 3,14157
1024-hörning: \pi\approx 3,141588
2048-hörning: \pi\approx 3,141591
4096-hörning: \pi\approx 3,1415923
8192-hörning: \pi\approx 3,1415925

/David Armini

 

Oändligheten

The Little Bird of Svithjod
High up in the north, in the land called Svithjod, there stands a rock. It is a hundred miles high and a hundred miles wide. Once every thousand years a little bird comes to this rock to sharpen its beak.  When the rock has thus been worn away, then a single day of eternity will have gone by.
The Story of Mankind av Hendrik Willem Van Loon

Vi är många som fascineras av vad oändligheten är. Känslan för mig är hisnande. Som att stå vid havet under en storm. Nära en avgrund. Ett åskoväder. Oändligheten trotsar på något sätt vårt försök att tygla naturen med lagar och formler, liksom vi inte kan kontrollera oväder, vulkaner, jordbävningar eller tsunamis.

Oändligheten och de irrationella talen, är två saker i matematiken som skrattar oss i ansiktet åt våra lama försöka att kunna skriva ned allting. Att hitta enkla förklaringar och samband.

Det finns en del sätt att få en känsla av hur stort oändligheten är. Eller snarare få en känsla av att vi inte förstår hur stort det är, ungefär som att stå där på stranden, mitt i stormen, och bara acceptera.

Talet pi består av en oändlig serie siffror i nästan slumpvis ordning. Mitt personnummer finns i pi. Ditt personnummer. Och inte bara det. De förekommer oändligt många gånger. Bland de första tvåhundra miljoner decimalerna av pi finns mitt födelsedatum 19730719 med 3 gånger. Första gången på plats 126 629 623. Här kan du kontrollera var ditt födelsedatum finns i pi.

Översatt till siffror finns varje bok som någonsin skrivits också i talet pi. Och varje bok baklänges. Och varje bok som någonsin kommer att skrivas. Dessutom finns alla dessa – just det – ett oändligt antal gånger. Det ger en liten pust av vad oändligheten är.

Inom matematiken pratar man om olika stora oändligheter. De minsta oändligheterna är de som som går att räkna upp. Exempelvis de naturliga talen: 1, 2, 3, 4, … Vi blir aldrig klara, men de går åtminstone att ordna. Decimalerna i pi är en annan uppräkningsbar oändlighet. Nästa och större oändlighet, är exempelvis de reella talen. Det finns ”fler” reella tal mellan 0 och 1 än det finns naturliga tal. Det går inte ens att hitta det första talet att börja med. Säg att du har hittat det minsta talet som är större än noll, kalla det x. Ja men då har vi ju direkt ett som är mindre, nämligen hälften av x. Och x / 10, x / 3, x / 100, x / 100 000. Någonstans där suger det till i min mage, jag känner liksom ett vinddrag av hur jäkla stort oändligheten faktiskt är.

Ungefär som när jag tänker på den 100 miles höga och långa muren som det kommer en fågel var tusende år och skärper näbben på.
When the rock has thus been worn away, then a single day of eternity will have gone by.

Privat kommunikation i offentliga medier

Det här är viktigt.
Eftersom det är jag som skriver så riskerar det att bli långt, därför kommer först en kortversion:
Var försiktig med vad du gillar, delar och kommenterar online

För den som orkar en utförligare version:

Att det står på FB eller finns online, betyder inte att det är sant.
De flesta har nog blivit försiktiga med att dela och kommentera fantastiska bilder och artiklar. Även om de delats några hundratusen gånger och bilderna ser proffsiga ut, tänker nog många en extra gång.
Men vad som fortfarande är lurigt är när det kommer från en person vi litar på och känner som vettig. Vi måste komma ihåg att även våra normalt vettiga vänner hamnar i affekt, säger något obalanserat eller helt enkelt gör ett misstag.
För det gör alla.
Även på Internet.
I synnerhet på Internet.

Rätt eller fel avgörs inte av antalet likes.
Den kommer nog som en överraskning för många. Men det är faktiskt sant. Man kan både ha fel och få många likes. Jag sticker ut hakan och tar SD och herr ”muslimer-skall-inte-få-resa-in-i-usa” som exempel. Och det omvända gäller förstås också – att man kan ha rätt och inte få en enda like. Och allt där emellan. Ovetenskapligt vill jag påstå att likes inte ens korrelerar med sanningsinnehåll.

Det du skriver på FB eller online finns för alltid kvar.
Det finns ingen ångervecka eller ångerknapp. Skulle du komma på andra tankar, upptäcka att ditt inlägg skadade någon, eller inse att det fanns en annan sida av saken än du först trodde? Tyvärr, det går inte att ångra sig.
Inte ens att radera inlägget eller kommentaren hjälper. Av dina 500 närmaste vänner och deras vardera 500 närmaste vänner är det nästan osannolikt att inte någon tar en skärmbild och skickar den till make/maka/barn/kollegor/vänner som i sin tur delar den med sina 500 närmaste vänner.

Och så till det verkliga kruxet: Du och jag och alla andra är i praktiken offentliga personer.
Ja, sådan är kraften i FB och andra sociala medier, att vi måste vakta vad vi skriver som om vi vore kändisar.
Det är åh så bedrägligt enkelt att känna att vi för en liten intim konversation i en inläggstråd, jag och 10 av mina och Pelles vänner. Pelle skrev något, jag svarade, liksom några till av Pelles vänner. Det kan tom bli ett litet minidrev. Det händer nog oss alla: Sent på kvällen, när man pratat länge. Kanske tagit ett glas vin eller två. Det kan vara så gött att få vräka tillsammans, en liten stund sluta vara så himla pk. Få se en enkel fiende bara ett litet tag.
Och det kan förstås vara helt ok när man sitter där, ett tätt kompisgäng.
Men det täta kompisgänget på sociala medier når betydligt fler.
Med bara 10-talet vänner i tråden kan räckvidden lätt räknas i tusental och med några delningar är räckvidden snabbt uppe i en tiotusentals personer.
Framför allt kan Pelles barn, släktingar, vänner, Pelles barns klasskompisar, se allt vi skriver.
Till formen var samtalet som om vi satt i ett litet rum och pratade öppet och ofiltrerat – sjöng vår hjärtans mening. Men i själva verket sändes konversationen till alla Pelles kollegor, vänner, barn, Pelles barns vänner, liksom några tusen- eller tiotusentals personer till.
I praktiken kan det få större genomslag än om det varit en artikel i en dagstidning.
Hade jag uttryckt mig på samma sätt om det skulle bli ett inslag i Aktuellt eller en artikel i DN?
Liksom offentliga personer måste väga ord och formuleringar, måste vi lära oss att tänka till och innan vi uttrycker oss kategoriskt måste vi kontrollera fakta.

Effekten kan bli förödande.
Du sa ju bara ditt hjärtas mening till en person du tycker om och som du litar på och som uttryckte frustration.
Men du visste inte hela historien.
Du tänkte inte på hur många som skulle se inlägget.
Och du tänkte inte på närstående, till och med minderåriga, kom att drabbas.

/David Armini

Rätt svar

Den här gåtan eller matteproblemet har snurrat några varv på Facebook och andra ställen. Senaste tråden som svischade förbi hade 2 miljoner kommentarer.

aMGYYoA_700b

Plustecknet kan uppenbarligen inte uppfattas så som vi brukar tolka det och frågan är då hur fritt man skall tolka problemet. Mitt svar blev 96 – jag tänkte på siffrorna i till vänster om likamedtecknet som indata till en funktion som producerade resultatet till höger om likamedtecknet. De tre inledande raderna är därför:
( 1, 4) = 5
( 2, 5) = 12              (System A)
( 3, 6) = 21

Den snabba ökningen av resultatet när indata ökar, gör en gissning att indata skall multipliceras rimlig. 1 * 4 är 1 mindre än 5, 2 * 5 är 2 mindre än 12. Ja, någonstans där är det väl rimligt att tänka sig att formeln är:
f (x, y) = x (y + 1) = x * y + x

Den fjärde raden är därför ( 8, 11) = 96.

Det roliga är nu att det finns många som svarar 40 och många som svarar 96. (Algoritmen för att få svaret 40 är: x + y + svaret på föregående rad.)

Det väcker förstås många frågor! Är 40 eller 96 rätt svar? Finns fler kandidater till rätt svar? Om det finns flera kandidater till rätt svar, finns det någon urvalsmetod som formalisera kan välja det enklaste eller till och med bästa svaret?

Problemet är förstås att systemet är underbestämt: Systemet A har många lösningar. Bara för att ta en ur högen:
g (x, y) = x (x + 3) + y – 3

Sista raden blir då… Håll i dig… 96.
Ändå är inte funktionen f  lika med funktionen g. Anledningen att detta inträffar är att i formuleringen av talet så finns ett enkelt samband med x och y:
y = x + 3

Sätt in det i både f och g så blir de likadana:
f (x, y) = f (x, x + 3) = x * (x + 3) + x =
       = x * x + 3 x
g (x, y) = g (x, x + 3) = x (x + 3) + x + 3 – 3 =
       = x * x + 3 x

Systemet A kan alltså enklare formuleras som:
( 1 ) = 5
( 2 ) = 12              (System B)
( 3 ) = 21

Men då är det väl än mer uppenbart att med så lite information kan man välja lite vilken lösning vad vill? Ansätt till exempel med en tredjegradsekvation och vi har direkt ett oändligt antal lösningar, till exempel:
h ( x ) = – x * x * x / 6 + 2 x * x + 13 x / 6 + 1

h ( 8 ) blir i det här fallet 61.

Drar man relativismen till sin extrem är det lockande att säga ”Svaret blir ‘gul’ – för det tycker jag är det bästa svaret”.

Det blir som i Liftarens guide till galaxen av Douglas Adams:
Svaret på frågan om Livet, universum och allting?
42.
Ja, men vad är frågan då?

Om frågan är ofullständigt formulerad, så kan svaret bli vad som helst. Matematik ger exakta svar, men bara på exakta frågor.

/David Armini

Jag tror inte på den fria viljan

…men jag måste leva som om jag trodde på den.

Citatet är inte mitt eget, det var min salig farfar som sa det till mig någon gång på 1990-talet. Nu skall en komma ihåg att min farfar var en rackare till att säga saker för att få igång en diskussion. Det hände ofta att han tog på sig åsikter som var i direkt motsägelse till vad han sagt i andra diskussioner, eller som verkade motsägelsefulla till hans personlighet.

Nu tror jag på den fria viljan – jag behöver bara gå till närmaste Ica och förvirrat bli stående 10 minuter i gången med 200 pastasorter för att få en stark känsla av att jag har en fri vilja. Alldeles för mycket fri vilja. Nu är det förstås inte ett bevis: Jag skulle kunna vara förutbestämd att uppleva det som att jag har ett val och att stå där och vela mellan bronsvalsad tagliatelle för 39:90 kr/kg, ekologiska penne för 44:90 kr/kg, Kungsörnens fiberberikade spaghetti för 29:90 kr/kg och 197 andra sorter. Men bevis eller inte bevis, så räcker det för att ge en upplevelse av att ha ett fritt val.

Trots dessa invändningar finner jag fortfarande tanken intressant: Även om vi vore predestinerade av signalsubstanser, gravitationsvågor, kvarkar och allt annat som vi vet, och ännu inte vet, bestämmer i universum, så måste vi ändå tänka på oss själva som om vi hade en fri vilja.
Även om vi saknar fri vilja, behöver vi ge oss själva erkännandet att vi har det. Om inte annat skulle vi inte klara att leva om vi trodde oss om att vara förprogrammerade köttrobotar.

Det finns situationer som påminner om ovanstående tanke om den fria viljan.

Demokrati: Det är långt ifrån ett perfekt system, men vi måste förlita oss på att det är det bästa statsskicket hittills i historien. (Däremot får man inte glömma ”hittills”. Och nej, sms-röstning kommer sannolikt inte att väsentligen utveckla demokratin.)

Våld löser ingent: Det finns nog situationer där våld måste användas. Skulle jag med våld försöka försvara mitt barn om det hotades? Självklart.
Men jag tror på att ställa in sig på att våld aldrig skall behöva användas. Rätten att bruka nödvärn innebär inte fler poliser, mer övervakning eller att bära vapen.

Obegränsad yttrandefrihet: Självklart skall man få säga precis vad som helst. Och självklart skall man tillämpa hänsyn och respekt när man säger något.
Men varför kan man inte lagstifta om ”tillämpa hänsyn och respekt”?
Jo, det kan man. Men då missar vi målet. Vi kan reglera och styra och bestämma och till del är det bra: Det blir ett budskap – ungefär som jag säger till mig själv att ”jag har en fri vilja”, även om jag inte är 100 % säker så lever jag som om jag har en fri vilja. Liknande sänder samhället ett budskap med ”det är förbjudet att kränka andra”.
Men skillnaden ligger långsiktigt i om vi lever som om vi har en fri vilja, och om vi lever som om alla har ömsesidig hänsyn och respekt för varandra.

/David Armini

Dystopier och katastroffilmer

Det finns många förklaringar till fascinationen för dystopiska skildringar och katastroffilmer:
Spänningen förstås.
Igenkänning – vi har nog alla varit lite småskraja ombord på ett flygplan.
Samhällskritik mot företag eller det offentliga som inte tar det ansvar de borde.

På senare tid har jag upptäckt en dimension till som förklarar (min) fascination för katastroffilmer och dystopiska scenarier. Insikten kom från de populära The Walking Dead och Fear the Walking Dead. Zombie-filmer har inte lockat mig tidigare och jag var en sen att upptäcka TWD, men blev snabbt förförd. Dittills hade jag sett zombie-genren som splatter och skräck, och det stämmer delvis, men min fascination ligger i det post-apokalyptiska. Öde hus, förfallna stadslandskap, motorväg med ändlösa rader övergivna bilvrak. Jag skulle sitta klistrad framför en film som bara visade miljöbilder från en kraschad civilisation.

Utöver dystopiska scenerier har jag särskilt fastnat för rollfigurerna Carol Peletier och Daryl Dixon: Före apokalypsen levde Carol med en man som regelbunden misshandlade henne, och Daryl växt upp med en alkoholiserad pappa och förtryckande storebror. Det intressanta är att både Carol och Daryl fungerar bättre i den kaotiska värld som uppstått med civilisationens fall. Daryl uttrycker vid ett tillfälle detta explicit: Det är som att världen och han kommit takt, tidigare hade han ett helvete till liv, medan resten av världen hade det överlag bra. I och med apokalypsen så ser hans liv ungefär likadant ut som innan, enda skillnaden är att alla andra är med och delar det med honom.

Utan att göra någon sak av jämföra zombie-apokalypsen med diverse privata utmaningar, finns en igenkänning i detta. Under tuffa perioder uppstår en frustration och det kan upplevas som att det vore en befrielse om den fysiska världen fick komma ikapp känslorna. Att i stället för att bara vara upprörd på insida, även få kämpa för sin och andras fysiska överlevnad.

/David Armini